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1 空间向量的数量积性质 注意 性质2 是证明两向量垂直的依据 性质3 是求向量的长度 模 的依据 性质 是求两个向量夹角的依据 2 空间向量的数量积满足的运算律 注意 例1已知在平行六面体中 求对角线的长 a e 例2 如图所示 已知线段ab在平面 内 线段ac 线段bd ab 线段dd 交 于d dbd 30 如果ab a ac bd b 1 求c d间的距离 2 求异面直线dc bd 所成的角 f 在正方体ac1中a1b1 面bcc1b1且bc1 b1c b1c是a1c在面bcc1b1上的射影 证明 同理可证 a1c b1d1 由三垂线定理知a1c bc1 结论 正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直 例4 利用向量的数量积可以证明两直线垂直 因而也可以证明线面垂直问题 例1 正方体中 e f分别是的中点 求证 分析 要证明线面垂直 只需证明直线和已知平面内的两条相交直线垂直即可 本题可考虑证明 1 空间向量的数量积性质 注意 性质2 是证明两向量垂直的依据 性质3 是求向量的长度 模 的依据 性质 是求两个向量夹角的依据 小结 到目前为止 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题 1 证明两直线垂直 2 求两点之间的距离或线段
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