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第2讲椭圆 双曲线 抛物线的基本问题 高考定位1 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点 多以选择题 填空题或解答题的一问的形式命题 2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点 尤其是有关弦长计算及存在性问题 运算量大 能力要求高 突出方程思想 转化化归与分类讨论思想方法的考查 真题感悟 答案A 答案B 3 2017 全国 卷 已知F是抛物线C y2 8x的焦点 M是C上一点 FM的延长线交y轴于点N 若M为FN的中点 则 FN 解析如图 不妨设点M位于第一象限内 抛物线C的准线交x轴于点A 过点M作准线的垂线 垂足为点B 交y轴于点P PM OF 答案6 考点整合1 圆锥曲线的定义 1 椭圆 MF1 MF2 2a 2a F1F2 2 双曲线 MF1 MF2 2a 2a F1F2 3 抛物线 MF d d为M点到准线的距离 温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时 易忽视定义中隐含条件导致错误 2 圆锥曲线的标准方程 3 圆锥曲线的重要性质 4 弦长问题 探究提高1 凡涉及抛物线上的点到焦点距离 一般运用定义转化为到准线的距离处理 如本例充分运用抛物线定义实施转化 使解答简捷 明快 2 求解圆锥曲线的标准方程的方法是 先定型 后计算 所谓 定型 就是指确定类型 所谓 计算 就是指利用待定系数法求出方程中的a2 b2 p的值 最后代入写出椭圆 双曲线 抛物线的标准方程 答案 1 D 2 2 探究提高1 本题第 1 问求解的关键是求点N H的坐标 而第 2 问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立 根据方程组的解的个数进行判断 2 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求 整体代换的技巧 训练3 2016 江苏卷改编 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l x y 2 0 抛物线C y2 2px p 0 1 若直线l过抛物线C的焦点 求抛物线C的方程 2 当p 1时 若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q 求线段PQ的中点M的坐标 2 当p 1时 曲线C y2 2x 设P x1 y1 Q x2 y2 线段PQ的中点M x0 y0 因为点P和Q关于直线l对称 所以直线l垂直平分线段PQ 于是直线PQ的斜率为 1 设其方程为y x b 训练4 2016 全国 卷 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明 AR FQ 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 1 椭圆 双曲线的方程形式上可统一为Ax2 By2 1 其中A B是不等的常数 A B 0时 表示焦点在y轴上的椭圆 B A 0时 表示焦点在x轴上的椭圆 A
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