高二数学 正弦函数的性质（2） ppt.ppt

1 3 1 二 正弦函数的性质 由正弦函数y sinx的作图过程以及正弦函数的定义 容易得出正弦函数y sinx还有以下重要性质 1 定义域 正弦函数y sinx的定义域是实数集r 或 记作 y sinx x r 2 值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 从正弦曲线可以看出 正弦曲线分布在两条平行线y 1和y 1之间 所以 sinx 1 即 1 sinx 1 也就是说 正弦函数的值域是 1 1 正弦函数y sinx x r 当且仅当x 2k k z时 正弦函数取得最大值1 当且仅当x 2k k z时 正弦函数取得最小值 1 3 周期性 由sin x 2k sinx k z 知 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 当自变量x的值每增加或减少2 的整数倍时 正弦函数y的值重复出现 在单位圆中 当角 的终边饶原点转动到原处时 正弦线的数量 长度和符号 不发生变化 以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示 这种性质称为三角函数的周期性 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 由此可知 2 4 2 4 2k k z且k 0 都是正弦函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 注意 1 周期函数中 x 定义域m 则必有x t m 且若t 0 则定义域无上界 t 0则定义域无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则f x 就不为周期函数 如f x0 t f x0 3 t往往是多值的 如y sinx t 2 4 2 4 都是周期 周期t中最小的正数叫做f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 根据上述定义 可知 正弦函数是周期函数 2k k z且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 4 奇偶性 由sin x sinx 可知 y sinx为奇函数 因此正弦曲线关于原点o对称 5 单调性 从y sinx的图象上可看出 当x 时 曲线逐渐上升 sinx的值由 1增大到1 当x 时 曲线逐渐下降 sinx的值由1减小到 1 结合上述周期性可知 正弦函数在每一个闭区间 2k 2k k z 上都是增函数 其值从 1增大到1 在每一个闭区间 2k 2k k z 上都是减函数 其值从1减小到 1 例1 设sinx t 3 x r 求t的取值范围 解 因为 1 sinx 1 所以 1 t 3 1 由此解得2 t 4 解 1 令w 2x 那么x r得z r 且使函数y sinw w r 取得最大值的集合是 w w 2k k z 由2x w 2k 得x k 即使函数y sin2x x r取得最大值的x的集合是 x x k k z 函数y sin2x x r的最大值是1 2 当3x 2k 即x k z 时 y的最大值为0 例3 求下列三角函数的周期 y sin x 2 y 3sin 3 y sinx 解 1 令z x 而sin 2 z sinz 即 f 2 z f z f x 2 f x 函数的周期t 2 2 y 3sin 解 令z 则 f x 3sinz 3sin z 2 函数的周期t 4 f x 4 3sin 3sin 2 3 y sinx 解 f x sin x sinx 所以函数的周期是t 一般地 函数y asin x 其中 的周期是 例4 不通过求值 指出下列各式大于0还是小于0 1 sin sin 2 sin sin