四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文.doc

四川省泸县第四中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 文第i卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知是虚数单位，则1+3i1+i= a. 2ib. 2+ic. 2+id. 2i2.已知集合m=x|x2x20,xr，n=y|y=12x2+1,xr，则mn=a. x|1x1 b. x|1x2 c. x|2x1d. x|1xbcb. acbc. cabd. bac11.将函数f(x)=cos(2x+)(0b0)的左，右焦点f1，f2，上顶点为m，f1mf2=60，p为椭圆上任意一点，且pf1f2的面积最大值为3.（）求椭圆c的标准方程；（）若点a.b为椭圆c上的两个不同的动点，且0aob=t（o为坐标原点），则是否存在常数t，使得o点到直线ab的距离为定值？若存在，求出常数t和这个定值；若不存在，请说明理由.21.（本大题满分12分）已知函数f(x)=lnx+12ax2(a+1)x(ar).（）当a1时，函数f(x)在区间1,e上的最小值为-5，求a的值；（）设g(x)=xf(x)12ax3+12(a+1)x2x，且g(x)有两个极值点x1，x2.（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x1x2e2.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为：sin24cos=0，直线的参数方程为：x=1+t,y=2t,（t为参数）.（i）把曲线c的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程；（ii）若直线与曲线c相交于a,b两点，求ab.23.已知函数f(x)=x1+x+k(k0).（）当k=2时，求不等式f(x)5的解集；（）若函数f(x)的最小值为3，且a,b,cr*，a+b+c=k，证明：a2+b2+c243.2019-2020学年度秋四川省泸县四中高三第一学月考试文科数学试题答案1.b2.a3.c4.c5.d6.c7.c8.a9.d10.b11.a12.d13. 14. 15.5416.1，23316.作出抛物线的准线，设a、b在l上的射影分别是c、d，连接ac、bd，过b作beac于e由抛物线的定义结合题中的数据，可算出rtabe中，cosbae=12，得bae60，从而得到直线ab的方程，再与抛物线联立，求得a点坐标，求得切线方程，与x=-1联立，求得m的坐标作出抛物线的准线l：x1，设a、b在l上的射影分别是c、d，连接ac、bd，过b作beac于eaf=3fb，设|fb|m，则|af|3m，由点a、b分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|db|fb|m，|ac|af|3m，|ae|2m因此，rtabe中，cosbae=12，得bae60所以，直线ab的倾斜角afx60，得直线ab的斜率ktan60=3直线ab的方程为y=3（x1），代入y24x，可得3x210x+30，x3或x=13，a在x轴上方，a（3，23），设过a的切线的斜率为m，则切线的方程为y-23=m（x-3），与y2=4x联立得到y2=4（y-23m+3），=0，可得m=33，过a的切线的方程为y=33x+3，与x-1联立可得y=233m的坐标为-1，233故答案为-1，23317.解：（1）因为ccosb+b-2acosc=0，所以sinccosb+sinb-2sinacosc=0，所以sinccosb+sinbcosc=2sinacosc，所以sinb+c=2sinacosc.又因为a+b+c=，所以sina=2sinacosc.又因为a0,，所以sina0，所以cosc=12.又c0,，所以c=3.（2）据（1）求解知，c=3，所以c2=a2+b2-2abcosc=a2+b2-ab.又c=2，所以4=a2+b2-ab.又a2+b22ab，当且仅当a=b时等号成立，所以ab4.所以abc面积的最大值sabcmax=12absincmax=124sin3=3.18（1）由表格中数据可得，x=3.5，y=16.r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2 =3517.576=3513300.96.y与月份代码x之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=3517.5=2，a=y-bx=16-23.5=9，关于x的线性回归方程为y=2x+9.（2）这100辆a款单车平均每辆的利润为1100(-50010+030+50040+100020)=350（元）这100辆b款单车平均每辆的利润为1100(-30015+20040+70035+120010)=400（元）用频率估计概率，a款单车与b款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购b款车型.19.（1）pb平面mef证明如下：在图1中，连接bd，交ef于n，交ac于o，则bn=12bo=14bd，在图2中，连接bd交ef于n，连接mn，在dpb中，有bn=14bd，pm=14pd，mnpbpb平面mef，mn平面mef，故pb平面mef；（2）连接bd交ef与点n，图2中的三角形pde与三角形pdf分别是图1中的rtade与rtcdf，pdpe，pdpf，又pepep，pd平面pef，则pdef，又efbd，ef平面pbd，则mnd为二面角mefd的平面角可知pmpn，则在rtmnd中，pm1，pn=2，则mn=pm2+pn2=3在mnd中，md3，dn=32，由余弦定理，得cosmnd=mn2+dn2-md22mndn=63二面角mefd的余弦值为6320()由题得，e=ca=12122cb=3a2=b2+c2 ，解得a2=4b2=3 ， 椭圆的标准方程为x24+y23=1. ()设ax1,y1 ，bx2,y2，当直线ab的斜率存在时，设其直线方程为：y=kx+n， 则原点o到直线ab的距离为d=nk2+1， 联立方程3x2+4y2=12y=kx+n，化简得，4k2+3x2+8knx+4n2-12=0， 由0得4k2-n2+30，则x1+x2=-8kn4k2+3，x1x2=4n2-124k2+3， oaob=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+nkx2+n=k2+1x1x2+knx1+x2+n2=t即7d2-12-4tk2+7d2-12-3t=0对任意的kr恒成立，则7d2-12-4t=07d2-12-3t=0 t=0，d=2217， 当直线ab斜率不存在时，也成立. 故当t=0时，o点到直线ab的距离为定值d=2217.21.解：（）f(x)=1x+ax-(a+1)=a(x-1a)(x-1)x，a1，x1,e，f(x)0，所以f(x)在区间1,e上为单调递增.所以f(x)min=f(1)=12a-(a+1)=-5a=8，又因为a=81，所以a的值为8.（）（i）g(x)=xlnx+12ax2-(a+1)x-12ax3+12(a+1)x2-x =xlnx-12(a+1)x2-x，且g(x)的定义域为(0,+)，g(x)=lnx+1-(a+1)x-1=lnx-(a+1)x.由g(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程lnx-(a+1)x=0有两个不同实根x1，x2.由lnx-(a+1)x=0得：a+1=lnxx.令h(x)=lnxx(x0)，则h(x)=1-lnxx2，由h(x)=0x=e.当x(0,e)时，h(x)0，则h(x)在(0,e)上单调递增；当x(e,+)时，h(x)0，则h(x)在(e,+)上单调递减.所以，当x=e时，h(x)=lnxx取得最大值h(e)max=1e，h(1)=0，当x(0,1)时，h(x)0，所以0a+11e，解得-1a1e-1，所以实数a的取值范围为(-1,1e-1).（ii）证明：不妨设0x1e2，只需证ln(x1x2)=x1+x2x2-x1lnx2x12.即证：lnx2x12x2-x1x2+x1=2(x2x1-1)1+x2x1.令t=x2x1(t1)，设f(t)=lnt-2(t-1)1+t=lnt+4t+1-2，f(t)=(t-1)2t(t+1)20.f(t)在(1,+)上单调递增，f(t)f(1)=0，即lnt2(t-1)1+t，x1x2e2.22.()由sin2-4cos=0得2sin2=4cos， 即曲线c的直角坐标方程为：y2=4x. 直线的直角坐标方程为l:y=2x-2. ()联立