人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型教案(2).doc

第三章 概率3.3 几何概型一、教学目标 1核心素养通过学习古典概型，初步形成基本的数学抽象和数学建模能力2学习目标（1）理解几何概型基本事件的特点（2）会用几何概型公式解决实际实际问题（2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法3学习重点理解几何概型的特点，会用几何概型解决随机事件出现的概率如何计算问题4学习难点基本事件出现等可能性二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1阅读P135-P140，思考:几何概型与古典概型的异同在哪儿？任务2如何利用几何概型公式解决实际问题中的概率问题?2预习自测1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()解：2在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）A0.5 B0.4 C0.004 D不能确定解：C3.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决()A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D.最适合估计古典概型的概率.解：C（二）课堂设计1知识回顾（1）古典概型的基本事件的特点（2）古典概型计算公式2问题探究问题探究一 几何概型基本事件的特点有哪些？（）活动一 创设情景，区分古典概型与几何概型飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖.则下列各圆盘的中奖概率如何计算呢？(1) (2) (3)图(1)是将圆盘五等分，飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件，每个基本事件的发生是等可能性的,概率为.图(2)三块区域圆心角之比为1:2:3。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案。图（3）圆盘两圆的半径之比为1:2，实现了完全的面积化，分析上述三种情况，不难发现，基本事件实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡。活动二 变换情景，深化基本事件特点的理解 如何计算下列情况的概率（1）在区间0，9上任取一个整数，恰好取在区间0，3上的概率为多少？ （2）在区间0，9上任取一个实数，恰好 取在区间0，3上的概率为多少？(1)是一个古典概型问题，概率为；(1)是一个几何概型问题，概率为.一般地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等. （3）几何概型的概率公式：=；问题探究二 应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题几何概型公式在实际问题中有哪些应用例1 取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】详解：记“豆子落入圆内”为事件A，则点拨：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比.例2 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】详解： 取出10mL麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A，则。点评：病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得10mL种子可视作区域d，所有种子可视为区域D.测度是体积。【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】例3 在等腰直角三角形中中，在斜边AB上任取一点M，求小于的概率.详解： 在上截取于是.点拨：点M随机地落在线段AB上（符合几何概型），故线段AB为区域D.当点M位于右下图中线段内时，故线段即为区域.测度是线段的长度。问题探究三 如何用随机模拟的方法？ 在古典概型中，涉及到用随机模拟的方法求随机事件的概率，那么能否用随机模拟的方法解一些几何概型问题呢？例4. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】详解1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（2）经过伸缩变换，a=a1*3（3）统计出1，2内随机数的个数N1和0，3 内随机数的个数N（4）计算频率fn(A)=即为概率P（A）的近似值详解2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3（这里3和0重合）转动圆盘记下指针在1，2（表示剪断绳子位置在1，2范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P（A）的近似值点拨：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍0，3内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应0，3上的均匀随机数，其中取得的1，2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1，2内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的1，2内的随机数个数与0，3内个数之比就是事件A发生的概率。例6 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】详解：（1）用计算机产生一组0，1内均匀随机数a1=RAND（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到0，12内的均匀随机数（3）统计试验总次数N和6，9内随机数个数N1（4）计算频率记事件A=面积介于36cm2与81cm2之间=长度介于6cm与9cm之间，则P（A）的近似值为fn(A)=点拨：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率3课堂总结【知识梳理】（1）几何概型的特点试验中有所有可能出现的基本事件有无穷个；每个基本事件出现的可能性是相等的（2）几概型的计算公式: 一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率：【重难点突破】 （1）“测度”的理解对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法（2）常见的几何概型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决4随堂检测1.从区间内任取两个数,则这两个数的和小于的概率是A. B. C. D.【知识点：几何概型】解： D2.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 A. B. C. D. 【知识点：几何概型】解: B3.已知集合A=,在平面直角坐标系中,点的坐标,点正好在第二象限的概率是A. B. C. D. 【知识点：几何概型】解：C4.已知地铁列车每10min一班，在车站停min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为_.【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解：5如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_解0.18由题意知，这是个几何概型问题，0.18，S正1，S阴0.18.（三）课后作业 基础型 自主突破1.设x是0,1内的一个均匀随机数,经过变换y=2x+3,则x=0.5对应变换成的均匀随机数是 A.0B.2C.4D.5【知识点：随机模拟方法】解C :当x=0.5时,y=20.5+3=4.2在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D1【知识点：几何概型】解：B3若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.【知识点：几何概型】解 B：设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A). 4一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖既不会落在靶心,也不会落在阴影部分与空白的交线上,现随机向靶掷飞镖30次,则飞镖落在阴影部分的次数约为() A.5B.10C.15D.20【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解 B:阴影部分对应的圆心角度数和为60,所以飞镖落在阴影内的概率为,飞镖落在阴影内的次数约为30=5.5有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【知识点：几何概型】解AP(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)6甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解：这是一个几何概型问题设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即yx1或xy2故所求事件构成集合A(x，y)| yx1或xy2，x0，24，y0，24A对应图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形2322由几何概型定义，所求概率为P(A)0.879 34能力型 师生共研7若在圆(x2)2(y1)216内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为( ).ABC D【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象】解 D：所求概率为8已知直线yxb，b2，3，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是( )ABC D【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象】解：B9.b1是0,1上的均匀随机数,b=2(b1+x),则b是区间2,4上的均匀随机数,则x=.【知识点：随机模拟】解 1: 0b11,2x2(b1+x)2x+2,b是2,4上的随机数,2x=2,2x+2=4,即x=1.10已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若a2,6，b0,4，求方程没有实根的概率【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解：（1）基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P(A).（2）试验的全部结果构成区域(a，b)|2a6,0b4，其面积为S()16，设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，其面积为S(B)424，故所求的概率为P(B)探究型 多维突破9一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解,如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1236。故所求概率为P.自助餐1.把0,1内的均匀随机数x分别转化为0,4和-4,1内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为()A.y1=-4x,y2=5x-4 B.y1=4x-4,y2=4x+3 C.y1=4x,y2=5x-4 D.y1=4x,y2=4x+3【知识点：随机模拟】解 C :x0,1,4x0,4,5x-4-4,1.2在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1 B1 C1 D1【知识点：几何概型,二次函数;数学思想：数学抽象，数学建模】解 B :由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示， (a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，故P(A)1，3.由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B. C. D.【知识点：几何概型，线性规划;数学思想：数学抽象，数学建模】解 D：如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.5如图13所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1 B. C. D.【知识点：几何概型】解：A6如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B. C. D.【知识点：几何概型，分段函数】解：B7在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1 Cp3p1p2 Dp3p2p1【知识点：几何概型，线性规划;数学思想：数学抽象，数学建模】解 B：如图，点(x，y)所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“|xy|”对应的图形为图所示的阴影部分；事件“xy”对应的图形为图所示的阴影部分对三者的面积进行比较，可得p2p3p1.8在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_【知识点：几何概型，二次方程】解：9在区间，上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_【知识点：几何概型，三角函数】解： 10如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_【知识点：几何概型】解：11某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早5分钟到校的概率【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王,至少早5分钟到校的概率为P(A).12. 在RtABC中，A30，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|AC|的概率【知识点：几何概型;数学思想：数学抽象，数学建模】解：设事件D为“作射线CM，使|AM|AC|”在AB上取点C使|AC|AC|，因为ACC是等腰三角形，所以ACC75，A907515，90，所以P(D).五、数学视野概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了19世纪末,法国数学家贝特朗奇发