高中数学三垂线定理课件旧人教高中必修第二册(下B）.ppt

三垂线定理 已知pa po分别是平面 的垂线 斜线 ao是po在平面 上的射影 a a ao 求证 a po 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 三垂线定理 证明 a po pa a ao a a 平面pao po 平面pao pa a 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 例1已知p是平面abc外一点 pa 平面abc ac bc 求证 pc bc 证明 p是平面abc外一点pa 平面abc pc是平面abc的斜线 ac是pc在平面abc上的射影 bc 平面abc且ac bc 由三垂线定理得pc bc 例2直接利用三垂线定理证明下列各题 1 pa 正方形abcd所在平面 o为对角线bd的中点求证 po bd pc bd 3 在正方体ac1中 求证 a1c b1d1 a1c bc1 2 已知 pa 平面pbc pb pc m是bc的中点 求证 bc am 1 2 3 1 pa 正方形abcd所在平面 o为对角线bd的中点 求证 po bd pc bd 证明 abcd为正方形o为bd的中点 ao bd 又ao是po在abcd上的射影 po bd 2 已知 pa 平面pbc pb pc m是bc的中点 求证 bc am bc am 证明 pb pcm是bc的中点 pm bc pa 平面pbc pm是am在平面pbc上的射影 3 在正方体ac1中 求证 a1c bc1 a1c b1d1 在正方体ac1中a1b1 面bcc1b1且bc1 b1c b1c是a1c在面bcc1b1上的射影 证明 同理可证 a1c b1d1 由三垂线定理知a1c bc1 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 怎么找 三垂线定理解题的关键 找三垂 怎么找 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直 注意 由一垂 二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理 这两条直线可以是 相交直线 异面直线 使用三垂线定理还应注意些什么 解题回顾 直线a在一定要在平面内 如果a不在平面内 定理就不一定成立 例如 当b 时 b oa 注意 如果将定理中 在平面内 的条件去掉 结论仍然成立吗 但b不垂直于op 解题回顾 面abcd 面 直线a1c 斜线a直线b1b 垂线b 面abcd 面 面b1bcc1 面 直线a1c 斜线a直线ab 垂线b 面abcd 面 直线a1c 斜线a直线b1b 垂线b 已知 pa po分别是平面 的垂线和斜线 ao是po在平面 的射影 a a ao l平行于a 求证 l垂直于po 若a是平面 的斜线 b 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 已知 pa po分别是平面 的垂线和斜线 ao是po在平面 的射影 a a po求证 a ao 三垂线定理的逆定理 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 定理 逆定理 例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上 已知 bac在平面 内 点p pe ab pf ac po 垂足分别是e f o pe pf求证 bao cao 分析 要证 bao cao只须证oe of oe ab of ac p 证明 po oe of是pe pf在 内的射影 pe pf oe of 由oe是pe的射影且pe ab oe ab 同理可得of ac 结论成立 例4在四面体abcd中 已知ab cd ac bd求证 ad bc do bc 于是ad bc 证明 作ao 平面bcd于点o 连接bo co do 则bo co do分别为ab ac ad在平面bcd上的射影 o ab cd bo cd 同理co bd 于是o是 bcd的垂心 1 在正方体ac1中 e g分别是aa1和cc1的中点 f在ab上 且c1e ef 则ef与gd所成的角的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 d m eb1是ec1在平面ab1内的射影 eb1 efdg am eb1ef dg 练习与作业 2 已知pa pb pc两两垂直 求证 p在平面abc内