人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学案(1).doc

两角和与差的正弦、余弦、正切公式能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用能熟练地把 化为()的形式和角、差角公式如下表：名称公式简记差的正弦()()差的余弦()()差的正切()()和的正弦()()和的余弦()()和的正切()()逻辑联系()与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即() ，() ，() .()和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例如() .当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便()使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简() () 时，不要将()和()展开，而应采用整体思想，进行如下变形：() () () .这也体现了数学中的整体原则()注意公式的结构特征和符号规律：对于公式()，()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式()，()可记为“异名相乘，符号同”【做一做】 若 ， ，则()() 【做一做】 的值为()【做一做】 .答案： 【做一做】 ().【做一做】 () .【做一做】 () .化简 ()剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出 的形式来化简 ，可设 ， .则 (又称为辅助角) ( )()特别是当、时，是特殊角，此时取、.例如， .在公式 ()中，() ， ，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想() 中的角必须为同角，否则不成立题型一给角求值问题【例】 求下列各式的值：() ；().分析：本题()可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题()可构造两角和的正弦公式求解反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用()，()公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一题型二给值(式)求值问题【例】 已知 ， ，是第三象限角求()，()的值分析：求出 ， 的值，代入公式()即可反思：分别已知，的某一三角函数值，求()，()，()时，其步骤是：()利用同角三角函数基本关系式求出，其余的三角函数值；()代入公式()，()，()计算即可题型三利用角的变换求值【例】 已知()，()，求 的值分析：解答本题关键是探寻，与之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来()当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题()当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”()角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式题型四易错辨析【例】 已知，且满足 ，()，求.错解： ，()，且， ，(). ()() () .，.或.错因分析：以上错解是由于求的三角函数值时，函数选择不当所致由于满足 且(，)的有两值，两值的取舍就是个问题，事实上 ，故，只有一值，故应计算角的余弦值反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：()先确定角的范围，且使这个范围尽量小；()根据()所得范围来确定求 ， ， 中的一个值，尽量使所选函数在()得到的范围内是单调函数；()求的一个三角值；()写出的大小答案：【例】 解：()原式()()()() () .()原式.【例】 解： ， . ，是第三象限角， .() .() .【例】 解：()，().()，(). ()()()()()().【例】 正解： ，()，且， ，(). ()() () .，.(山东青岛高三质检)已知 ，且，则等于() 化简的结果是().在中， 且 ，则 的值是已知()， ，且，(，)()求 的值；()求的值答案：由于，则