统计学之机率概论与机率分配(doc 64页).doc

授 课 目 录第一章 质量管理概说第二章 统计学概论第三章 机率概论及机率分配第四章 统计制程管制与管制图第五章 计量值管制图第六章 计数值管制图第七章 制程能力分析第八章 允收抽样的基本方法第九章 计数值抽样计划第十章 计量值抽样计划第十一章 量具之再现度与再生度第十二章 质量管理之新七大手法第三章 机率概论及机率分配3.1 集合论 集合论(Set Theory)机率论(Probability)群体分配 集合是元素的聚合，而元素是集合的单位。A=1, 2, 31, 2, 3为A集合的单位 1A无元素的集合存在，称之为空集合，记做 或例 集合B=X|X2+6X+5=0求B=-1, -5 元素和集合的关系A=1, 2, 31A； 4A 集合和集合的关系(1) 子集关系：AB(A含于B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到A=1, 2, 3B=1, 2, 3, 4ABBA(2) 等集关系：A=B(A等于B)即集合A与集合B中的元素完全相同A=0, 1B=X|X(X-1)=0A=BA=B(3) 对等关系：AB(A对等于B) 即集合A中每一元素可与集合B中的每一元素一对一对应关系合格品不合格品A集合合B集合合10A=0, 1B=合格品，不合格品 集合之运算(1) 联集运算：AB(2) 交集运算：AB(3) 去集运算：A-BABBA(4) 结合律：ABC=(AB)C=A(BC)(5) 交换律：AB =BA(6) 分配律：A(BC)=(AB)(AC)(7) 余集：设W为全集，则W-A称之为A之余集，记作A，W-A=AAA若AA=WAA=(A)=A另A-B= A B(8) 分割：设W为全集，集合A、B均含于W，当满足(a)AB=W(b) AB=时，则称为A、B为W上的分割。AB(9) 余集律：(AB)=AB(AB)=AB*符号说明：X：随机变数，P：机率，p：不合格率p(x)：机率密度函数(离散型)f(x)：机率密度函数(连续型)F(x)：累积机率分配函数(连续型、离散型)EX = m (期望值)，VX = s2 (变异数)m ：母体平均值，s2：母体变异数：样本平均值，S2：样本变异数*3.2 机率的概念 机率论是现代统计学的基础。机率是为了衡量不确定结果，而建构出来的一种测度。其中基本的概念为： 机率空间(Probability Space)：系统中，集合所有可能出现的事件而构成的一个抽象空间，通常以W表示。有时亦称样本空间(Sample Space)或结果空间(Outcome Space)。 事件(Events)：系统中我们所要讨论合理且可能发生的现象，是机率空间的基本元素。 随机实验(Random Experiment)：可能出现的结果有很多种，重复实验时无法明确预知得到什么结果的实验方式。 随机变数(Random Variables)：定义在机率空间的一个量测机率的工具，通常以一个一对多的不确定函数表示。它对实验的每一种结果指定一数值与之对应。或将文字叙述转换成数字叙述(将实验结果以数值表示，省略一一列出可能实验结果的烦杂)。常以X表示之，且其结果常符合某一特定分配。函数系针对定义域与对应域(值域)之间一对一或多对一的关系，即输入某一数值就对应输出另一数值，过程与结果均是确定的(Deterministic)。但当输入一事件却可能出现好几种其它情况时，如掷一骰子对应的是可能出现6种情况，此即随机变量。简言之，随机变量是一种多的广义函数。实数值x(事件)之机率P(X=x)决定机率分配函数p(x)。范例、某品牌相同原子笔n支，内有不合格品，某同学任意选1支，试写出样本空间？(合格品=G，不合格品=NG)W = G，NG=21若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1；W = X|0，1；如x=1=NG(X：随机变数表选得不合格品数；x：事件)范例、承上题，某同学任意选2支，试写出样本空间?W = (G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG) =22若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=(G，NG)，(NG，G)范例、承上题，某同学任意选3支，试写出样本空间?W = (G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG) =23若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)实验检验真理，真理只有一个。然随机实验中，其产生之结果是不确定的(Uncertainty)。机率就是衡量此不确定结果，而建构出来的一种测度。如何决定机率值-决定机率值的方法(1)理论机率=古典机率=机会均等机率 样本空间W内有n(W)个元素，若事件A为W之部份集合，含n(A)个元素，则事件A的机率为：P(A)= n(A)/ n(W)范例、承上题，某同学任意选1支，为不合格品之机率?n(W)=21事件= NGn(A)=1 P(A)= 1/ 2若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1；W = X|0，1；则x=1=NGP(A)= n(A)/ n(W)P(x=1) =P(NG)=1/2范例、承上题，某同学任意选2支，有1不合格品之机率?n(W)=22事件= (G，NG)，(NG，G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2x=1=(G，NG)，(NG，G) ； P(x=1) =P(G，NG)，(NG，G)= 2/4 =1/2范例、承上题，某同学任意选3支，有1不合格品之机率?n(W)=23事件=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品数目表示(随机变量之概念，转换成数字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3则x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)P(x=1) =P(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)= 3/8 计算理论机率的方法亦称古典方法，此法依靠抽象的推理与逻辑分析，而不必进行实际的试验。(2) 经验机率=客观机率 一随机实验重复试行n次，其中A事件共发生fA次，则A事件发生之机率可视为发生次数与总次数比：P(A)= fA/n当实验的次数愈多，事件的相对次数比将愈趋稳定；即P(A)=fA/n(3)主观认定机率 一事件发生之机率，常由人们对此事的经验，或心理的感觉而决定。此机率较有争议。机率公设在样本空间W中，事件A发生的机率记做P(A)，机率必须符合以下公设：(1) P(W)=1，P()=0(2) P(A)0(3) P(A)=1-P(A)，其中A=W-A(4) 若BW，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)样本空间计算基本法则法则一(加法原理)：完成一件事有二种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，则完成此事件共有n1+n2种方法。法则二(乘法原理)：完成一件事有k个阶段，第一阶段有n1种方法，第二阶段有n2种方法，第k阶段有nk种方法，则完成此事件共n1n2nk种方法。法则三：在n个不同事物中，任取r个予以组合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。范例、甲、乙二人掷骰子，约定甲掷出点数是1, 2时，甲可得2元；点数是3, 4时可得4元；点数是5时可得10元；点数是6时，则甲需付给乙20元。令X表掷骰子后甲所得的钱，求X的机率分布?W=1, 2, 3, 4, 5, 6；n(W) = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n(W) = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n(W) = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n(W) = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n(W) = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6p(x) (x) p(x=2)1)p(x=4)p(x=10)p(x=-20)x=2x=4x=10x=-20范例、甲掷一枚铜板2次，令X表出现正面的次数，求X的机率分布?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n(W) = 1/4 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n(W) = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n(W) = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0x=1x=2上述二范例均为离散型数据系属离散型随机变量，即实验结果其对应之数值只有可数的几种可能值，且可一一列出此种情况，以机率P(X=x)决定机率分配函数p(x)(离散型)。反之，连续型数据系属连续型随机变量，即实验结果其对应之数值不能列出各种可能值，则以机率P(Xa)决定机率分配函数f(x) (连续型)。3.3 统计独立与条件机率定义：统计独立(Statistically Independent)在样本空间W中有两事件A与B，若A发生的机率不受B影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B为统计独立。范例：(独立无关联)爱足球不爱足球合计男648252900女7228100P(男)=900/1000=0.9；P(女)=100/1000=0.1=1-0.9P(爱足球)=(648+72)/1000=0.72P(不爱足球)=(252+28)/1000=0.28=1-0.72P(男爱足球)=648/1000=0.648P(男不爱足球)=252/1000=0.252P(女爱足球)=72/1000=0.072P(女不爱足球)=28/1000=0.028由于P(男爱足球) =0.648= P(男) P(爱足球)P(男不爱足球) =0.252= P(男) P(不爱足球)P(女爱足球) =0.072= P(女) P(爱足球)P(女不爱足球) =0.028= P(女) P(不爱足球)定义：互斥事件(Disjoint Events)在样本空间W中有两事件A与B，若其集合无共同元素，即AB= ，则称事件A与B互斥。P(AB)= 0。定义：条件机率在样本空间W中有两事件A与B。在事件A已发生的条件下，事件B发生的机率称为条件机率，以P(B|A)表示，则P(B|A)=P(B A)/P(A)。范例、掷一枚铜板2次，求2次均出现相同结果下，至少出现一次正面的机率?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4A：2次均出现相同结果=正正, 反反；n(A)=2P(B|A) = P(B A)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2范例、甲到玉市购玉，已知某玉店的10块玉中有4块为膺品。甲欲买该店2块玉，则2块均为真品的机率?设A为第一块玉为真品的事件，B为第二块玉为真品的事件，则P(B A) = P(A) P(B|A)= (6/10)*(5/9) = 1/3定理：贝氏定理设B1, B2,Bn为互斥事件，且事件A为含有各种事件Bi某种共同特性之任意事件。在事件A已发生情况下，则事件Bk发生之机率为P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/P(Bi)P(A|Bi)范例、甲制造车厂有二条生产线B1 , B2，分别各占60%和40%的生产量。已知生产线B1有2%的不合格率，生产线B2有3%的不合格率，兹某人购买该车厂乙部车有瑕疵，则此车为生产线B1之产品的机率？B1= 0.6B2= 0.4A/ B1=0.02A/ B2=0.03P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) = 0.03P(B1) = P(B1)P(A| B1)/P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)=(0.6)(0.02)/(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)= 0.53.4 机率分配函数及其特征值机率分配函数(Probability Distribution Function)可了解事件在机率空间中，其密度分布的情况，或样本在母体中出现的频率的情形。机率分配函数通常指累积机率分配函数(cdf, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或机率密度函数(pdf, Probability Density Function)分别以p(x)-离散型与f(x)-连续型表示之。机率分配之性质x离散型： (1)0 p(xi) 1所有xi值(2)P(X = xi) = p(xi)所有xi值(3)Sp(xi) = 1所有xi值x连续型： (1)0 f(x)(2)P(a x b) =f(x)dx(3) f(x)dx = 1一个随机变量X之累积机率分配函数F(x)定义为：F(x) = P(Xx)F(x)表示随机变量X之值小于或等于x的机率。x1X x2时P(x1X x2) = F(x2)-F(x1)F(x)具有下列性质(a) F(x)是递增函数，即若a b，则F(a) F(b)(b) limx -F(x)=0,limx F(x)=1(c) F(x)是右连续函数掷1骰子2次，令随机变数X为2次点数之和x23456789101112p(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F(x)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P(5 X 9) = F(9) F(5) = 30/36 10/36 = 20/36平均值、变异数与期望值一个机率分配的平均值是其集中趋势。其定义为m =xf(x)dx连续型m = Sxp(x) (所有x值)离散型亦可将平均值表示为随机变量X的期望值(Expected Value)。其定义为m = EX =xf(x)dx连续型m = EX = Sxp(x) (所有x值)离散型其中E代表为期望值运算子(Expected Value Operator)。一个机率分配的变异数是其离散趋势。其定义为s2= (x-m)2f(x)dx连续型s2 = S (x-m)2p(x) (所有x值)离散型亦可将变异数以期望值表示。其定义为s2 = E(x-m)2另变异数的使用亦可定义为变异数运算子(Variance Operator) V表示VX = E(x-m)2= s2有关随机变数X之平均值 m 与变异数s2与常数c，则(1) Ec = c(2) EX = m(3) EcX = c EX = cm(4) Vc = 0(5) VX = s2= EX2 - m2(6) VcX = c2s2(7) EX1+X2 = EX1+EX2 = m1+ m2(8) VX1+X2 = VX1 + VX2+ 2CovX1, X2其中 CovX1, X2 = E(X1-m1)(X2-m2)为随机变数X1与X2之共变异数(Covariance)。如X1与X2是独立的，则CovX1, X2=0。(9) VX1-X2 = VX1 - VX2+ 2CovX1, X2倘X1与X2是独立的，则(10) VX1-X2 = VX1 + VX2= s21+ s22(11) EX1X2 = EX1 EX2 = m1 m2一般而言，X1与X2是否独立(12) EX1 / X2 EX1 / EX2范例：每天大型生日蛋糕销售量(X)销售量012345机率0.10.10.20.30.20.1EX00.10.40.90.80.52.7EX200.10.82.73.22.59.3VX9.3 2.72 = 2.01范例：投资电子股股票的投资报酬率(X)可能投资报酬率-10-6515机率0.10.30.40.2EX-1-1.8232.2E2X + 32 EX+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4EX21010.8104575.8V2X + 34(75.8 2.22) = 283.84习 题1、下列何种抽样方法，抽样作为估计群体误差为最小(1)单纯随机抽样法(2)系统抽样法(3)分层随机抽样法(4)集体抽样法(5)视情形。2、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件(编号0049)要抽5件时，则抽样第5件之编号为( 16 )。3、进货50件，系统抽样，要抽5件，若第一件为编号3，则第四件之编号为（ 33 ）。4、一班学生50人之重量(群体/样本)一桶溶液取一杯量来分析，一杯量为(群体/样本)每批中取30个量测尺寸(群体/样本)100箱（当抽样数为5）该箱可视为(无限群体/有限群体)30箱(当抽样数为5时)该箱可视为(无限群体/有限群体)5、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000件(编号000999)要抽五件时，则抽样第3件之编号为( 274 )6、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，绘制柏拉图，则于柏拉图内第三要项之累积不良比率( 80% )。A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, (40+24+16)%=80%7、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，B类在百分比图中之%为( 12 )。8、同上，扇形图A类之图心角度( 144 )。9、次数分配表之组中点为3.5，5.5，7.5，9.5，11.5试求组距( 2 ) 。10、直方图向规格上下限伸展时，表示变异过大平均数过小平均数过大变异过小平均数过小，变异也变小。11、一组数字 1，4，7，9，Y 其R值10求Y。9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=1112、23，21，22，20，X 平均值23求X。(23+21+22+20+X)/5 = 23, X=2913、1，3，5，7，9 求样本变异数及样本标准差。8, 2(2)0.514、某批取12个量测尺寸，其数据之特性必有(中位数/平均数/众数)。15、常态分配平均值3，标准差0.2，则2.63.4间之次数约占全部次数之( 95.45 % )。16、和中心值无关统计量(标准差/平方和/R值/平均偏差/变异数)。17、写出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3018、集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 19、A=1，3 B=3，5，6 C=1，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=120、样本空间=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, (AB)=1, 2, 3=4, BA=33, 4=321、某公司有五架同型电视机，内有二架故障，王小姐任意挑选二架，试写出样本空间=G G, G NG, NG G, NG NG22、一批制品有4个良品，3个疵品，自其中抽取二个时，其样本空间以不良品数目表示时，其样本空间为G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。23、一铜币，其出现正反面之机会相等，掷一铜币二次，样本空间以正面出现次数表示，样本空间为正正, 正反, 反正, 反反=X| 0, 1, 2。24、某制程要控制温度，原料及水份，今考虑有4种水平的温度，5种原料及2种不同水份，则制造方法共有( 4*5*2=40)种方法。25、7题是非题总共有几种答法。26、求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=16170027、从10件制品送验批中，任取3件加以检验，选取的方法有多少种？C(10,3)=12028、五男三女选4人组成委员会，可能组成若干委员会(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30 29、扑克牌52张中，随机取出4个，全部均为红砖的机率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。30、投一个六面骰子，出现偶数的机率= ( 1/2 )。31、投二个六面骰子，出现和大于10机率= ( 1/12 )。32、P(A-B)=0.4 P(AB)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.333、设A，B为互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 P(AB)=(0.9)P(AB)=( 0 )P(A)=( 0.6 ) P(AB)=(0.5 ) P(AB)=( 0.4 )。34、P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(AB)=0.7 则 P(AB)=( 0 )。35、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件则Y=(0.3 )36、P(ABCD)写出上列公式。37、P(AB)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(AB)=( 0 )。38、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=(0.4/0.6= 2/3 )。39、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A(BC)=(0.5 )。=P(B C)=P(B)+P(C)-P(B C)= P(B)+P(C)=0.1+0.440、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1 P(ACB)=(0.2+0.1)/0.6=1/2 )41、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=( 2/3 )42、A，B二罐子，A罐装50个甜糖果，40个酸糖果，B罐装60个甜糖果，30个酸糖果，今拿出一糖果并试出其为甜者，试问此糖从A罐取出之机率为何？A：取A罐之事件 B：取B罐之事件； D：甜糖果之事件；甜糖果，从A罐取出之机率，即求P(AD)=P(AD)/P(D)P(D)=P(AD)+P(BD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)=(1/2*50/90+1/2*60/90=11/18 )P(AD)=P(AD)P(D)=(1/2*50/90)/(11/18)=5/11 )43、设A和B互相独立，P(A)=0.4，P(AB)=0.9则 P(B)=( 5/6 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.9=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=5/644、A，B独立P(A)=13 P(B)=12，A和B同时发生之机率=( 1/6 )45、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y若A，B为独立事件则Y=( 1/2 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.7=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=1/246、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P(A)=0.9 P(B)=0.8，P(AB)=( 0.72 )，则P(AB)=(0.9+0.8-0.8*0.9=0.98 )47、某校IQ平均值110，标准差9，契毕懈夫定理计算至少含3/4 IQ之区间。( 92, 128 )48、某校IQ平均值110，标准差9，谢比雪夫定理计算，(78.5，141.5)区间内次数之%。( 91.8% )49、常态分配平均值3，标准差0.2，则2.63.4间之次数约占全部次数之( 95.45% )。若未知其分配型态则2.53.5间之次数约占全部次数最少为( 84% )。50、致远工管统计学期末考，到考学生100人，平均分数为55分，标准差为5分，试问考生分数在4070分间有几人？(a) 谢比雪夫不等式，(b) 常态分配。51、假设随机变异X之机率密度函数如下：，试求P(x 2)、EX，VX52、某天麻豆空气污染指数是75，试问(a) 依马可夫不等式求其空气污染指数大于100之机率？(b) 已知标准差为5，依谢比雪夫不等式求其空气污染指数大于50，小于100之机率？常用的机率分配与统计分配当获得母体的样本数据时，须从各种机率分配当中，选择出最接近该母体的机率分配，使样本数据与母体参数有最佳的推论与检定能力。常用的机率分配有：离散型与连续型二大类。3.5 离散型机率分配离散型机率分配(p)-常见有二项分配、卜氏分配、离散型均匀分配、超几何分配。若一随机实验只有成功和失败两种结果，事件成功发生的机率为p，事件失败发生的机率为1-p。令随机变量x = 1代表成功的事件，x = 0代表失败的事件，此称随机变量X服从白努依分配(Bernoulli Distribution)。x10P(x)p1-pEX1p0(1-p)VX=EX2-(EX)2p(1-p)p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-x(1) 二项分配(Binomial)-执行n次白努利随机试验，事件成功发生的机率为p，事件失败发生的机率为1-p。通常以随机变量XB(n, p)表示。其机率密度函数与累积分配函数为：p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,n F(x) =C(n, k) pk (1-p)n-k其期望值与变异数为：EX = npVX =np(1-p) Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution范例、致远管理学院约有40%的学生喜欢打篮球，兹随机机访问1个学生，试问(a) 此学生喜欢打篮球的期望值与变异数? (b) 随机机访问5个学生，此5个均喜欢打篮球的期望值与变异数? 有2个均喜欢打篮球的期望值与变异数? 至少有3个喜欢打篮球的期望值与变异数?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true)(a) 令随机变量X代表喜欢棒与否，则(注意:N/Y)EX = p = 0.4 VX = p(1-p) = 0.24(b) 令随机变量X代表喜欢棒的人数，则(注意:人数)EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np(1-p) = 1.2P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346/binomdist(2,5,0.4,false)/P(X 3) = 1- P(X 2) = 0.317/1-binomdist(2,5,0.4,true)/范例、工管系期末考统计学出20题选择题(4选1)，每题5分。某学生采完全以猜的方式作答，试问(a) 此学生答对数的期望值与变异数? (b) 此学生期末考统计学分数的期望值与变异数? (c) 此学生考及格的机率? (d) 此学生最多考40分的机率? SOL：公式、查表、Excel(a) 令随机变量X代表此学生答对题数，则(注意:题数)EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np(1-p) = 3.75(b) 分数期望值(注意:分数)E5X = 5EX = 25 V5X = 25*3.75 = 93.75(c) 此学生须答对12题以上才能及格，因此，P(X 12) = 1- P(X 0F(x) = 1- e-x/l其期望值与变异数为：EX= lVX = l2范例、工管系举行迎新烤肉活动，地点是曾文水库。归来时大家快乐的走到候车亭等往麻豆的台南客运。不巧，同学们刚到候车亭时，车子正好刚开走。康乐股长看看站牌上写着：往麻豆班车平均每20分钟开一班。 (a) 同学们最多再等10分钟之机率? (b) 超过30分钟之机率?SOL：公式、查表、Excel令随机变量X代表台南客运到达时间间距，XExp(l) = Exp(20)，则(a) F(x) = P(x 10) = 0.39/=expondist(10,1/20,true)/(b) P(x 30) = 0.2231/=1-expondist(30,1/20,true)/(3) 常态分配(Normal )应用最广的机率分配，其贴切地模式化或描述很多自然现象或社会科学实例。通常以随机变数XN(m,s2)表示。其机率密度函数与累积分配函数为：-m0其期望值与变异数为：EX = mVX = s2常态分配具有以下各项特性：(a) 是一以平均值m为中心线，呈左右对称钟状图形的分配。s愈大，分配偏离中心m愈远，曲线图愈平缓。(b) 母体的平均值、众数、中位数均相同值。(c) 机率分配函数图形向曲线中心的两端延伸，该渐趋近横轴(即机率函数值递减)。 通常将其XN(m, s2)标准化。标准化过程是令Z=(X-m)/s则ZN(0, 1)，又称Z分配。标准常态机率密度函数,-x标准常态分配之期望值与变异数为：EX = 0,VX = 1范例、工管系期末考统计学成绩，经整理得知具有N(50,16)，试问成绩于5060的人数，大概占所有参加考试人数的比例为多少? 公式、查表、ExcelSOL：令随机变量X代表考试成绩，其具有N(50,16)，则P(50 X 60) = P(50-50)/4 (x-50)/4(60-50)/4=0.494/=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/范例、工管系某品管实验，经整理资料得知具有N(0.3,0.012)，老师规定此实验规格应为0.30.02之间才合格。试问此实验不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令随机变量X代表实验数据，其具有N(0.3,0.012)，则P(0.28x0.32)=P(0.28-0.3)/0.01(x-0.3)/0.01(0.32-0.3)/0.01=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4) 伽玛分配Gamma Distribution如随机变量X，具有以下的机率密度函数，则该分配称之为伽玛分配：其中a、b是伽玛分配的参数，其值均大于0。Where the gamma function G is defined as: 伽玛函数将被运用到数个统计量分配-Chi-Square, t, F Distribution。3.7常用的统计分配母体样本分配、参数统计量随机抽取推 论检定计算描述如何将样本数据x1, x2,xn推估母体参数(m, s2)，此种由抽样资料推论母体的长像，统计上称为统计推论。为了推论母体所服从的机率分配，即推论该机率分配的母体(m,s2)。从母体中抽取数个样本，利用这些样本组成所谓的样本统计量，而样本统计量所服从的机率分配则称之为统计分配，亦称抽样分配(Sampling Distribution)。常用的统计分配有常态分配，t分配，卡方分配，F分配等。统计推论的目的系利用样本里的信息对母体作结论，所采之方法为随机样本，即倘母体有N个元素而抽出n个样本，所有的C(N, n)个可能