2020高考数学课标二轮：题型练大专项（四）立体几何综合问题 含解析.docx

教学资料范本2020高考数学课标二轮：题型练大专项（四）立体几何综合问题 含解析编 辑：_时 间：_6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页1.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,ABE=60,G为BE的中点.(1)求证:AG平面ADF;(2)若AB=BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)证明矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,ADAB.矩形ABCD菱形ABEF=AB,AD平面ABEF.AG平面ABEF,ADAG.菱形ABEF中,ABE=60,G为BE的中点,AGBE,即AGAF.ADAF=A,AG平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=BC=,则BC=1,AG=,故A(0,0,0),C,-,1,D(0,0,1),G,则=(0,0,1),设平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),则取y1=,得n1=(1,0),设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),则取y2=2,得n2=(0,2,).设二面角D-CA-G的平面角为,则cos=,易知为钝角,二面角D-CA-G的余弦值为-.2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OBOC,OO1OC,OO1OB,以为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P,从而=(0,2,2),故|cos|=.因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点,所以Q,因此=(0,2,2),=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则不妨取n=(,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为,则sin=|cos|=,所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.3.在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=2,AD=AB=PD=PB=2.(1)若点E为PC的中点,求证:BE平面PAD.(2)当平面PBD平面ABCD时,求二面角C-PD-B的余弦值.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.由已知得,BCD为等边三角形,BMCD.AD=AB=2,BD=2,ADB=ABD=30,ADC=90,BMAD.又BM平面PAD,AD平面PAD,BM平面PAD.E为PC的中点,M为CD的中点,EMPD.又EM平面PAD,PD平面PAD,EM平面PAD.EMBM=M,平面BEM平面PAD.BE平面BEM,BE平面PAD.(2)解连接AC,交BD于点O,连接PO,由对称性知,O为BD的中点,且ACBD,POBD.平面PBD平面ABCD,POBD,PO平面ABCD,PO=AO=1,CO=3.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则D(0,-,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),则n2,n2,=(3,0),=(0,1),令y=,得x=-1,z=-3,n2=(-1,-3),cos=-.设二面角C-PD-B的大小为,则cos=.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC平面AB1D?(1)证明如图建立空间直角坐标系.设棱长AA1=a,则D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是=(0,-1,-1),=(3,1,-1),=(0,1,-1),所以=0,=0.所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和PB,由线面垂直的判定定理,得PD平面PBC.(2)解A(3,0,a),=(3,-1,-1),而平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1),所以cos=-.所以PA与平面ABCD所成角的正弦值为.所以PA与平面ABCD所成角的正切值为.(3)解因为D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以=(3,0,0),=(0,2,-a).设平面AB1D的法向量为n2=(x,y,z),则有令z=2,可得平面AB1D的一个法向量为n2=(0,a,2).若要使得PC平面AB1D,则要n2,即n2=a-2=0,解得a=2.所以当AA1=2时,PC平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长.解:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2).(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0).于是=0,所以PCAD.(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD的法向量n=(x,y,z).则不妨令z=1,可得n=(1,2,1).