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专题一 力和运动 第三讲 力和曲线运动 2008 03 27 一 曲线运动 是物体运动的位移 速度 及加速度 的合成与分解 运动合成的特点 独立性和等时性 运动的合成和分解 两个实际问题的讨论 轮船渡河跨过定滑轮的绳拉物体运动速度的分解 最短位移和最短时间 例 关于互成角度的两个初速度不为0的匀变速直线运动的合运动 下述说法正确的是 a 一定是直线运动b 一定是抛物线运动c 可能是直线运动 也可能是抛物线运动d 以上说法都不对 c 注 两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质及合初速度与合加速度的方向和大小关系决定 1 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动 方向沿合初速度的方向 2 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动 当两者共线时为匀变速直线运动 不共线时为匀变速曲线运动 3 两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动 若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时 则是直线运动 若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时 则是曲线运动 合外力恒定 且与初速度垂直 加速度恒定 匀变速曲线运动 2 平抛运动 分解为 在相同时间内 速度增量相同 动量改变量相同 垂直合外力方向上的匀速运动 沿合外力方向上的匀变速直线运动 如图4 2 1是一质点从 点以水平速度v0经时间t到a点 1 速度 水平和竖直方向分速度分别为vx v0 vy gt 则它在a点的合速度为 速度方向 与水平方向夹角 2 位移 水平位移和竖直位移分别为故合位移位移方向 与水平方向的夹角 从速度方向与位移方向可看出 tan 2tan 运动时间为 射程为 定义 质点沿圆周运动 在相等的时间里通过的圆弧长度相等 描述运动的物理量 线速度 角速度 周期 频率 向心加速度 大小 方向 始终指向圆心 向心力 始终指向圆心 大小 方向 非匀变速曲线运动 匀速圆周运动性质是 匀速圆周运动 时 物体作圆周运动 时 物体作离心运动 时 物体靠近圆心运动 例1 某年9月 四川 重庆普降暴雨 造成重庆市10余县区发生历史上罕见的洪涝灾害 造成百余人死亡 在此次抗洪抢险中 战士驾驶冲锋舟救人 假设江岸是平直的 洪水沿江而下 水的流速为5m s 舟在静水中的航速为10m s 战士救人的地点a离岸边最近点o的距离为50m 如图 求 1 战士要想通过最短的时间将人送上岸 则最短时间是多少 2 战士要想通过最短的航程将人送上岸 冲锋舟的舟头应与河岸成多少度角 题型一 渡河问题 答案 1 tmin 5s 2 600 3 smin 100m 3 若水的流速是10m s 而舟的航速 静水中 为5m s 战士想通过最短的距离将人送上岸 则这个最短距离是多少 题型二 平抛运动 例2 如图所示 墙壁上落有两只飞镖 它们是从同一位置水平射出的 飞镖a与竖直墙壁成53角 飞镖b与竖直墙壁成37角 两者相距为d 假设飞镖的运动是平抛运动 求射出点离墙壁的水平距离 sin37 0 6 cos37 0 8 分析 设射出点离墙壁的水平距离为s a下降的高度h1 b下降的高度h2 根据平抛运动规律可知 点评 本题的关键是理解箭头指向的含义 箭头指向代表这一时刻速度的方向 而不是平抛物体的位移方向 理解两个重要的推论 如图所示 推论1 做平抛 或类平抛 运动的物体在任一时刻任一位置处 设其末速度方向与水平方向的夹角为 位移与水平方向的夹角为 则tan 2tan 推论2 做平抛 或类平抛 运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点 题型三 圆周运动 例3 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的 弯道处要求外轨比内轨高 其内外轨高度差h的设计不仅与r有关 还取决于火车在弯道上的行驶速率 下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h 1 根据表中数据 试导出h和r关系的表达式 并求出当r 440m时 h的设计值 2 铁路建成后 火车通过弯道时 为保证绝对安全 要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力 又已知我国铁路内外轨的间距设计值为l 1435mm 结合表中数据 算出我国火车的转弯速率v 以km h为单位 结果取整数 路轨倾角很小时 正弦值按正切值处理 3 随着人们生活节奏加快 对交通运输的快捷提出了更高的要求 为了提高运输力 国家对铁路不断进行提速 这就要求铁路转弯速率也需要提高 请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施 解 1 分析表中数据可得 每组的h与r之乘积均等于常数c 660m 50 10 3m 33m2因此h r 33 或h 33 m 0 075m 75mm 当r 440m时 有 h 2 转弯中 当内外轨对车轮没有侧向压力时 火车的受力如图所示 由牛顿第二定律得 因为 很小 有 得 3 有效措施有 a 适当增大内外轨的高度差h 代入数据得 v 15m s 54km h b 适当增大铁路弯道的轨道半径r 例4 城市中为了解决交通问题 修建了许多立交桥 如图所示 桥面为圆弧形的立交桥ab 横跨在水平路面上 长为l 200m 桥高h 20m 可以认为桥的两端a b与水平路面的连接处的平滑的 一辆汽车的质量m 1040kg 以 25m s的速度冲上圆弧形的立交桥 假设汽车冲上立交桥后就关闭了发动机 不计车受到的阻力 试计算 g取10m s2 小汽车冲上桥顶时的速度是多大 小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小 解 由题意 车从a点到桥顶过程 机械能守恒 设到桥顶时速度为 则有 解得 15m s l 200m h 20m根据几何知识可求得圆弧形的半径r 代入数据可解得r 260m设车在桥顶时 桥面对它的作用力为 则n和 提供向心力 根据牛顿第二定律得 解得 9 5 103n根据牛顿第三定律 车对桥顶的压力 9 5 103n 例5 如图1 3 4所示 半径为r 内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内 两个质量均为m的小球a b 以不同的速度进入管内 a通过最高点c时 对管壁上部的压力为3mg b通过最高点c时 对管壁的下部压力为0 75mg 求 a b两球落地点间的距离 解析本题是圆周运动动力学问题与平抛运动学问题及机械能守恒定律的综合 a通过最高点 所受合力为3mg mg m b通过最高点所受合力为mg 0 75mg m a b两球落地间的距离为两球从2r高处作平抛运动水平射程之差即xab va vb 说明本题还可拓展到求a b两球在半圆型管道最低点的速度 并可求出小球在c处对管壁上部 下部有无压力的临界条件 是一个有一定综合性的曲线运动问题 3r 14 2005广东 如图11所示 半径r 0 40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内 半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点a 一质量m 0 10kg的小球 以初速度v0 7 0m s在水平地面上向左作加速度a 3 0m s2的匀减速直线运动 运动4 0m后 冲上竖直半圆环 最后小球落在c点 求 a c间的距离 取重力加速g 10m s2 14 12分 匀减速运动过程中 有 1 恰好作圆周运动时物体在最高点b满足 mg m 假设物体能到达圆环的最高点b 由机械能守恒 3 联立 1 3 可得 因为 所以小球能通过最高点b 小球从b点作平抛运动 有 2r 4 5 由 4 5 得 1 2m 6 2m s 2 3m s 15 14分 一个质量为 的物体静止在足够大的水平地面上 物体与地面间的动摩擦因数 从 开始 物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力f作用 力f随时间的变化规律如图10所示 求83秒内物体的位移大小和力f对物体所做的功 取 2006广东 15 14分 一个运动周期时间为4秒 半个周期t 2秒 物体所受到的摩擦力大小为 f mg 1分 前2秒内物体的加速度 a1 2分 2 4秒物体的加速度 a2 2分 s1 a1t2s2 v1t 前4秒的位移大小 s s1 s2 2分 a2t2v1 alt 第84秒的位移so a2 83秒时的速度v a2 83秒内的位移大小 s83 21s一so 2分 2 s83 167m 1分 83秒内外力f对物体做的功为 wf mv2 fs83 3分 wf 676j 1分 题型四 天体运动 例6 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行 它的运行轨道距地面高度为h 已知地球半径为r 地面表面处的重力加速度为g 地球的自转周期为t 试求该卫星的运行速度 要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来 卫星在通过赤道上空时 卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长s是多少 解 设地球质量为m 卫星质量为m 卫星在运行时 由万有引力提供向心力 设