中考数学真题分类汇编第三期专题39开放性问题试题含解析.doc

开放性问题解答题1. （2018湖北十堰12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2、0）、B（0、4）与x轴交于另一点C、连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图、P是第一象限内抛物线上一点、且SPBO=SPBC、求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点D、直线BD交x轴于点E、使ABE与以A、B、C、E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在、请求出点D的坐标；若不存在、请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标、作POB和PBC的高线、根据面积相等可得OE=CF、证明OEGCFG、则OG=CG=2、根据三角函数列式可得P的坐标、利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式、k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A、B、C、E中的三点为顶点的三角形、有两个三角形与ABE有可能相似、即ABC和BCE、当ABE与以A、B、C中的三点为顶点的三角形相似、如图2、根据存在公共角BAE=BAC、可得ABEACB、列比例式可得E的坐标、利用待定系数法求直线BE的解析式、与抛物线列方程组可得交点D的坐标；当ABE与以B、C.E中的三点为顶点的三角形相似、如图3、同理可得结论【解答】解：（1）把点A（2、0）、B（0、4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：、解得：、抛物线的解析式为：y=x2x4；（2）当y=0时、x2x4=0、解得：x=2或4、C（4、0）、如图1、过O作OEBP于E、过C作CFBP于F、设PB交x轴于G、SPBO=SPBC、OE=CF、易得OEGCFG、OG=CG=2、设P（x、x2x4）、过P作PMy轴于M、tanPBM=、BM=2PM、4+x2x4=2x、x26x=0、x1=0（舍）、x2=6、P（6、8）、易得AP的解析式为：y=x+2、BC的解析式为：y=x4、APBC；（3）以A、B、C、E中的三点为顶点的三角形有ABC.ABE.ACE.BCE、四种、其中ABE重合、不符合条件、ACE不能构成三角形、当ABE与以A、B、C、E中的三点为顶点的三角形相似、存在两个三角形：ABC和BCE、当ABE与以A、B、C中的三点为顶点的三角形相似、如图2、BAE=BAC、ABEABC、ABE=ACB=45、ABEACB、AE=、E（、0）、B（0、4）、易得BE：y=、则x2x4=x4、x1=0（舍）、x2=、D（、）；当ABE与以B、C.E中的三点为顶点的三角形相似、如图3、BEA=BEC、当ABE=BCE时、ABEBCE、=、设BE=2m、CE=4m、RtBOE中、由勾股定理得：BE2=OE2+OB2、3m28m+8=0、（m2）（3m2）=0、m1=2、m2=、OE=4m4=12或、OE=2、AEB是钝角、此时ABE与以B、C.E中的三点为顶点的三角形不相似、如图4、E（12、0）；同理得BE的解析式为：y=x4、x4=x2x4、x=或0（舍）D（、）；综上、点D的坐标为（、）或（、）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理、第3问有难度、确定三角形与ABE相似并画出图形是关键2. （2018湖北江汉12分）抛物线y=x2+x1与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C、其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折、抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象（1）点A、B、D的坐标分别为（、0）、（3、0）、（、）；（2）如图、抛物线翻折后、点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时、求t的取值范围；（3）如图、当t=0时、若Q是“M”形新图象上一动点、是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在、求出点P的坐标；若不存在、请说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标、再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标、根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式、再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组、解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在、设点P的坐标为（m、0）、则点Q的横坐标为m、分m或m3及m3两种情况、利用勾股定理找出关于m的一元二次方程、解之即可得出m的值、进而可找出点P的坐标、此题得解【解答】解：（1）当y=0时、有x2+x1=0、解得：x1=、x2=3、点A的坐标为（、0）、点B的坐标为（3、0）y=x2+x1=（x2x）1=（x）2+、点D的坐标为（、）故答案为：（、0）；（3、0）；（、）（2）点E.点D关于直线y=t对称、点E的坐标为（、2t）当x=0时、y=x2+x1=1、点C的坐标为（0、1）设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b、将B（3、0）、C（0、1）代入y=kx+b、解得：、线段BC所在直线的解析式为y=x1点E在ABC内（含边界）、解得：t（3）当x或x3时、y=x2+x1；当x3时、y=x2x+1假设存在、设点P的坐标为（m、0）、则点Q的横坐标为m当m或m3时、点Q的坐标为（m、x2+x1）（如图1）、以CQ为直径的圆与x轴相切于点P、CPPQ、CQ2=CP2+PQ2、即m2+（m2+m）2=m2+1+m2+（m2+m1）2、整理、得：m1=、m2=、点P的坐标为（、0）或（、0）；当m3时、点Q的坐标为（m、x2x+1）（如图2）、以CQ为直径的圆与x轴相切于点P、CPPQ、CQ2=CP2+PQ2、即m2+（m2m+2）2=m2+1+m2+（m2m+1）2、整理、得：11m228m+12=0、解得：m3=、m4=2、点P的坐标为（、0）或（1、0）综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P、点P的坐标为（、0）、（、0）、（1、0）或（、0）3（2018辽宁省盘锦市）如图1、点E是正方形ABCD边CD上任意一点、以DE为边作正方形DEFG、连接BF、点M是线段BF中点、射线EM与BC交于点H、连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45、此时点F恰好落在线段CD上、如图2、其他条件不变、（1）中的结论是否成立、请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90、此时点E.G恰好分别落在线段AD.CD上、如图3、其他条件不变、（1）中的结论是否成立、请说明理由【解答】解：（1）如图1、结论：CM=EM、CMEM理由：ADEF、ADBC、BCEF、EFM=HBM在FME和BMH中、FMEBMH、HM=EM、EF=BHCD=BC、CE=CH1HCE=90、HM=EM、CM=ME、CMEM（2如图2、连接AE、四边形ABCD和四边形EDGF是正方形、FDE=45、CBD=45、点B.E.D在同一条直线上BCF=90、BEF=90、M为AF的中点、CM=AF、EM=AF、CM=MEEFD=45、EFC=135CM=FM=ME、MCF=MFC、MFE=MEF、MCF+MEF=135、CME=360135135=90、CMME（3）如图3、连接CF、MG、作MNCD于N、在EDM和GDM中、EDMGDM、ME=MG、MED=MGDM为BF的中点、FGMNBC、GN=NC、又MNCD、MC=MG、MD=ME、MCG=MGCMGC+MGD=180、MCG+MED=180、CME+CDE=180CDE=90、CME=90、（1）中的结论成立4. （2018乐山12分）已知RtABC中、ACB=90、点D.E分别在BC.AC边上、连结BE.AD交于点P、设AC=kBD、CD=kAE、k为常数、试探究APE的度数：（1）如图1、若k=1、则APE的度数为 ；（2）如图2、若k=、试问（1）中的结论是否成立？若成立、请说明理由；若不成立、求出APE的度数（3）如图3、若k=、且D.E分别在CB.CA的延长线上、（2）中的结论是否成立、请说明理由解：（1）如图1、过点A作AFCB、过点B作BFAD相交于F、连接EF、FBE=APE、FAC=C=90、四边形ADBF是平行四边形、BD=AF、BF=ADAC=BD、CD=AE、AF=ACFAC=C=90、FAEACD、EF=AD=BF、FEA=ADCADC+CAD=90、FEA+CAD=90=EHDADBF、EFB=90EF=BF、FBE=45、APE=45 故答案为：45（2）（1）中结论不成立、理由如下：如图2、过点A作AFCB、过点B作BFAD相交于F、连接EF、FBE=APE、FAC=C=90、四边形ADBF是平行四边形、BD=AF、BF=ADAC=BD、CD=AE、BD=AF、FAC=C=90、FAEACD、 =、FEA=ADCADC+CAD=90、FEA+CAD=90=EMDADBF、EFB=90在RtEFB中、tanFBE=、FBE=30、APE=30、（3）（2）中结论成立、如图3、作EHCD、DHBE、EH、DH相交于H、连接AH、APE=ADH、HEC=C=90、四边形EBDH是平行四边形、BE=DH、EH=BDAC=BD、CD=AE、HEA=C=90、ACDHEA、ADC=HAECAD+ADC=90、HAE+CAD=90、HAD=90在RtDAH中、tanADH=、ADH=30、APE=305. （2018莱芜12分）如图、抛物线y=ax2+bx+c经过A（1、0）、B（4、0）、C（0、3）三点、D为直线BC上方抛物线上一动点、DEBC于E（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1、求线段DE长度的最大值；（3）如图2、设AB的中点为F、连接CD、CF、是否存在点D、使得CDE中有一个角与CFO相等？若存在、求点D的横坐标；若不存在、请说明理由【分析】（1）根据待定系数法、可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标、可得DM、根据相似三角形的判定与性质、可得DE的长、根据二次函数的性质、可得答案；（3）根据正切函数、可得CFO、根据相似三角形的性质、可得GH、BH、根据待定系数法、可得CG的解析式、根据解方程组、可得答案【解答】解：（1）由题意、得、解得、抛物线的函数表达式为y=x2+x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b、解得y=x+3、设D（a、a2+a+3）、（0a4）、过点D作DMx轴交BC于M点、如图1、M（a、a+3）、DM=（a2+a+3）（a+3）=a2+3a、DME=OCB、DEM=BOC、DEMBOC、=、OB=4、OC=3、BC=5、DE=DMDE=a2+a=（a2）2+、当a=2时、DE取最大值、最大值是、（3）假设存在这样的点D、CDE使得中有一个角与CFO相等、点F为AB的中点、OF=、tanCFO=2、过点B作BGBC、交CD的延长线于G点、过点G作GHx轴、垂足为H、如图2、若DCE=CFO、tanDCE=2、BG=10、GBHBCO、=、GH=8、BH=6、G（10、8）、设直线CG的解析式为y=kx+b、解得直线CG的解析式