人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系习题(3).doc

2.3 空间直角坐标系典型习题一、选择题1以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A（0，0.5，0.5）B（0.5，0，0.5）C（0.5，0.5，0）D（0.5，0.5，0.5）2设点B是点A（2，-3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A10 B C D383如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为（）A B Ca D4一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A B C D5点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）A以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D无法确定6若A、B两点的坐标是A（3cos，3sin），B（2cos，2sin），则|AB|的取值范围是（）A0，5 B1，5 C.（1，5） D1，257在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）； 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）； 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）； 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A3B2C1D08设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）ABCD9点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）BABCD10已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，5，1），C（3，7，5），则点D的坐标为（）A（3.5，4，1）B（2，3，1）C（3，1，5）D（5，13，3）11已知点A（1，2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）A0.5，4B1，8C-0.5，4D1，812在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= _14已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为 _15已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是 _16. 已知点A（3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为三、解答题（共70分）17如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标18在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小19已知空间直角坐标系O-xyz中点A（1，1，1），平面过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面内的任一点（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面与坐标平面围成的几何体的体积20如图，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且|AN|=3|NC|，试求MN的长21在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？（2）在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标参考答案：一、选择题1以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A（0，0.5，0.5）B（0.5，0，0.5）C（0.5，0.5，0）D（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）故选B2设点B是点A（2，-3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A10 B C D38【解答】解：点B是A（2，-3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，B（2，-3，-5）AB的长度是5-（-5）=10，故选A3如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为（）A B Ca D【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD，A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A（a，0，a），AC的中点E与AB的中点F，F（a，0），E（，），|EF|=a4一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（）A B C D【解答】解：点P（1，1，1）平面xoy的对称点的M坐标（1，1，-1），一束光线自点P（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：=故选D5点P（x，y，z）满足=2，则点P在（）A以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D无法确定【解答】解：式子=2的几何意义是动点P（x，y，z）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合故选C 6若A、B两点的坐标是A（3cos，3sin），B（2cos，2sin），则|AB|的取值范围是（）A0，5 B1，5 C.（1，5） D1，25【解答】解：由题意可得|AB|=-1cos（-）1，113-12cos（-）25，15，故选B7在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）C点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）； 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）； 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）； 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A3B2C1D08设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）CABCD9点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）BABCD10已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，5，1），C（3，7，5），则点D的坐标为（）DA（3.5，4，1）B（2，3，1）C（3，1，5）D（5，13，3）11已知点A（1，2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）CA0.5，4B1，8C-0.5，4D1，812在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（A）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= _22 【解答】解：点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，所以P1（-1，2，-3），P关于坐标平面xOz的对称点为P2，所以P2（1，-2，3），|P1P2|=2故答案为：214已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为 _22 【解答】解：B（3，2，-6），C（5，0，2），BC边上的中点坐标是D（4，1，-2）BC边上的中线长为=2，故答案为：215已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是 _27-1027-10 【解答】解：由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，为半径的球面上，x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-=-=5，所以|OP|2=27-10故答案为：27-1016. 已知点A（3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标解：【解答】解：如图所示，B点的坐标为（1，1，0），因为A点关于x轴对称，得A（1，-1，0），C点与B点关于y轴对称，得C（-1，1，0），D与C关于x轴对称，的D（-1，-1，0），又P（0，0，2），E为AP的中点，F为PB的中点，由中点坐标公式可得E（0.5，-0.5，1），F（0.5，0.5，1）18在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小解：【解答】解：（1）设点P的坐标是（x，0，0），由题意|P0P|=，即=，（x-4）2=25解得x=9或x=-1点P坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）先设点M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可（2）设点M（x，1-x，0）则|MN|=当x=1时，|MN|min=点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小19已知空间直角坐标系O-xyz中点A（1，1，1），平面过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面内的任一点（1）求点P的坐标满足的条件；（2）求平面与坐标平面围成的几何体的体积解：【解答】解：（1）因为OA，所以OAAP，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x2+y2+z2，化简得：x+y+z=3（2）设平面与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）所以|MN|=|NH|=|MH|=3，所以等边三角形MNH的面积为：/4(3)2=9/2又|OA|=，故三棱锥0-MNH的体积为：9/2=4.520如图，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且|AN|=3|NC|，试求MN的长【解答】解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A（a，0，a），C（0，a，a），D（0，0，a）由于M为BD的中点，取AC中点O,所以M（，），O（，a）因为|AN|=3|NC|，所以N为AC的四等分,从而N为OC的中点，故N（，a，a）根据空间两点距离公式，可得|MN|a21在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？（2）在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标【解答】解：（1）假设在y轴上存在点M，满足|MA|=|MB|因M在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得显然，此式对任意yR恒成立这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|（2）假设在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|=|MB|，所以只|MA|=|AB|就可以使得MAB是等边三角形因为|MA|=|AB|=于是，解得y故y轴上存在点M使MAB等边，M坐标为（0，0），或（0，0）空间直角坐标系 优化训练1已知点A(1,2,7)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A(1，2，7)B(1，2,7)C(1，2，7) D(1,2，7)2点P(2,0,3)位于()Ay轴上 Bz轴上CxOz平面内 DyOz平面内3如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为()A1 B2C3 D44点P(3,2,1)关于Q(1,2，3)的对称点M的坐标是_5在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_，在平面xOy上的射影的坐标为_，在yOz平面上的射影的坐标为_1如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)2在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2,3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D关于y轴对称3已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足xyz，且xyz0，则M点的位置是()A一定在第或第卦限 B一定在第卦限C可能在第卦限 D可能在xOz平面上4. 在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为()A(0，0) B(0，)C(1,0，) D(1，0)5已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，则ABC的重心坐标为()A. B.C. D.6设z是任意实数，相应的点P(2,2，z)运动的轨迹是()A一个平面 B一条直线C一个圆 D一个球7在xOy平面内有两点A(2,4,0)，B(3,2,0)，则AB的中点坐标是_8已知ABCD的两个顶点A(2，3，5)，B(1,3,2)以及它的对角线交点E(4，1,7)，则顶点C的坐标为_，D的坐标为_9点P(a，b，c)关于原点的对称点P在x轴上的投影A的坐标为_10在三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ABAC，且SAABACa，D为BC的中点，E为SD的中点，建立适当的坐标系，求点S、A、B、C、D、E的坐标11. 如图，在长方体OABCDABC中，|OA|1，|OC|3，|OD|2，点E在线段AO的延长线上，且|OE|，写出B，C，E的坐标12. 如图，有一个棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点A出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置空间直角坐标系 优化训练1已知点A(1,2,7)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A(1，2，7)B(1，2,7)C(1，2，7) D(1,2，7)答案：A2点P(2,0,3)位于()Ay轴上 Bz轴上CxOz平面内 DyOz平面内解析：选C.由点P纵坐标为零知P(2,0,3)，在xOz平面内3如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为()A1 B2C3 D4答案：C4点P(3,2,1)关于Q(1,2，3)的对称点M的坐标是_解析：设M坐标为(x，y，z)，则有1，2，3，解得x5，y2，z7M(5,2，7)答案：(5,2，7)5在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_，在平面xOy上的射影的坐标为_，在yOz平面上的射影的坐标为_答案：(2,0,0)(2,3,0)(0,3,4)1如图，在正方体ABCDABCD中，棱长为1，|BP|BD|，则P点的坐标为()A(，)B(，)C(，)D(，)解析：选D.连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上，|BP|BD|，PxPy，Pz，故P(，)2在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2,3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称D关于y轴对称解析：选D.由P、Q两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标分别互为相反数知P、Q关于y轴对称3已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足xyz，且xyz0，则M点的位置是()A一定在第或第卦限B一定在第卦限C可能在第卦限D可能在xOz平面上解析：选D.由xyz且xyz0知，x0，z0，yR，故点M可能在第、第卦限或在xOz平面上故选D.4. 在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为()A(0，0)B(0，)C(1,0，)D(1，0)解析：选D.由P、Q两点的横坐标、纵坐标相等知5已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，则ABC的重心坐标为()A. B.C. D.答案：B6设z是任意实数，相应的点P(2,2，z)运动的轨迹是()A一个平面 B一条直线C一个圆 D一个球解析：选B.由P的x、y坐标是定值，则过(2,2,0)作与xOy平面垂直的直线，直线上任意一点都满足x2，y2，故P的轨迹是一条直线7在xOy平面内有两点A(2,4,0)，B(3,2,0)，则AB的中点坐标是_解析：设AB中点坐标为(x，y，z)，则x，y3，z0中点坐标为(，3,0)答案：(，3,0)8已知ABCD的两个顶点A(2，3，5)，B(1,3,2)以及它的对角线交点E(4，1,7)，则顶点C的坐标为_，D的坐标为_解析：E为AC、BD的中点答案：(6,1,19)(9，5,12)9点P(a，b，c)关于原点的对称点P在x轴上的投影A的坐标为_解析：由题意得P(a，b，c)，P(a，b，c)在x轴上的投影A坐标为(a,0,0)答案：(a,0,0)10在三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ABAC，且SAABACa，D为BC的中点，E为SD的中点，建立适当的坐标系，求点S、A、B、C、D、E的坐标解：在三