2019-2020学年福建省宁德市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省宁德市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知全集则（ ）ABCD【答案】B【解析】求出，再求交集即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题.2已知扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为（ ）A3B2CD【答案】A【解析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由扇形面积公式可得这个扇形的面积为故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.3函数的零点所在的区间是（ ）A BCD【答案】A【解析】由零点存在性定理求解即可.【详解】，因为，所以函数的零点所在的区间是故选：A【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4设函数是定义在R上的奇函数，当时，则（ ）A1BC2D【答案】B【解析】根据奇函数得到，计算出，即可得到.【详解】函数是定义在R上的奇函数，则所以故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）ABCD2【答案】B【解析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为5，所以直角三角形的斜边为小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为设直角三角形的两直角边分别为：，则有 解得：则故选：B【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题.6已知则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用两角和的余弦公式将展开，平方后化简得到，求出，即可得出.【详解】因为所以，化简得到 又，所以，即，即 所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.7已知，则的最小值是（ ）A0B1CD【答案】A【解析】将展开化简得到，再由化简得到，根据的范围，即可得到的最小值.【详解】因为，所以当时，取最小值：故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题.8函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据奇偶性排除D，取特殊值排除A，C，即可得出答案.【详解】令，则函数为奇函数所以排除D，解得：， 因为 ，所以排除A，C故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9若，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】利用对数函数的单调性得出，利用对数的运算得出，利用指数的运算化简并与比较，即可得出答案.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题.10已知函数则的最大值为（ ）A1B3CD【答案】D【解析】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以令，则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）ABCD【答案】C【解析】由，得出，根据平移变换得到，由结合正弦函数的性质得到,或,，由即可得到答案.【详解】因为，所以由题意可得，解得：,或,即,或,当时，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出， ，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.【详解】所以函数是以为周期的周期函数，当时，则要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.当时，函数与函数，的图象如下图所示不满足题意当时，函数与函数，的图象如下图所示要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B故有 ，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题13若向量与共线，则实数_;【答案】【解析】由向量共线得到，即可得到.【详解】向量与共线，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.14求值=_.【答案】【解析】利用诱导公式得到，逆用两角和的余弦公式，即可求解.【详解】则故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】先确定的解，画出函数的图像，根据图像分析即可得出实数的取值范围.【详解】，解得；，解得函数的图像如下图所示由图可知，要使得函数在上的最大值为2，则【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题.16若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:（1）任意恒成立;（2）任意且，都有以下四个函数:；中是“和谐函数”的为_（写出所有正确的题号）.【答案】【解析】先由单调性以及奇偶性定义得到 “和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意恒成立，则任意即函数在上为奇函数取，因为任意且，都有，所以在上增函数函数的定义域为，故不是和谐函数；，令，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故不是和谐函数；令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以，即所以函数在上为增函数，故为和谐函数；令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以即即函数在上为增函数，故是和谐函数；故答案为：【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题.三、解答题17已知全集，集合（1）求（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】(1)化简集合B，求出集合A的补集，即可求解(2)根据集合A与集合C没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为，或，（2）因为，所以集合A与集合C没有公共部分或故有或，解得：或即实数的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题.18如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;（2）若AB2，BC3，当时，求DF的长.【答案】（1）（2）【解析】(1)根据平行四边形法则得到，结合三角形法则并化简得；(2)建立直角坐标系，用坐标表示、，即可得到DF的长.【详解】解：（1）因为是中点，所以.因为是上靠近的三等分点，所以，.所以.（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系设的长为,则. 所以.因为，所以,所以,即的长为.【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题.19已知函数（1）求的单调递增区间;（2）若，且求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简，根据正弦函数的单调增区间化简得到的单调递增区间；(2)根据函数的解析式以及化简得到，再由确定，再由两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）由已知得：由得.所以的单调递增区间为.（2）因为,所以,即.因为所以因此即所以.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题.20在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（元）后，还可按如下方案获得相应金额（元）的奖券:根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:（元）.设购买商品得到的，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是（2）购买标价为元的商品可以得到的优惠率【解析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为元的商品可以得到的优惠率，分别讨论和，根据优惠率列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为元的商品优惠额为:元,所以优惠率为：.答：购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是.（2）设购买标价为元的商品可以得到的优惠率.当时，优惠率为：，解得.因为，所以不合题意，舍去.当时，优惠率为：，解得.因为，符合题意.答：购买标价为元的商品可以得到的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21已知函数是函数的零点，是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式;（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)根据函数图象的对称轴以及，得出，由，列出方程组，解出，根据得出，；(2)将零点问题转化为函数与函数的交点问题，根据图像，求出的取值范围.【详解】解：（1）是函数图象的对称轴，且，则由已知得所以所以,又因为所以，故（2）依题意知函数与在上有个交点结合图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）【解析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：