预科高等数学习题参考答案上学期.doc

第一章 函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数有 ，所以有，即，因此数列是单调递减数列显然对于任意的自然数有 ，因而有进而存在，对任意的自然数有，所以数列是有界的综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限观察出，要使，只要，于是取正整数则当时，就有，故(2) 对任意的自然数有 ，所以有，因此数列是单调递增数列显然对于任意，存在，使得，因此数列是无界的综上数列是单调递增无界数列，因此数列的极限不存在(3) 从数列的前几项可以看出数列既非单调递减数列也非单调递增数列显然对于任意，存在，使得，因此数列是无界的综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列的极限不存在2 分析 用“”语言证明数列极限的步骤如下：(1) 化简(往往需将它适当放大后)得；(2) 逆序分析求，要使，(解不等式后知)，于是取正整数；(3) 按定义作结论 则当时，就有故证明 (1) ，要使，只要，于是取正整数则当时，就有，故(2) ，要使，只要，于是取正整数则当时，就有，故(3) ，要使，只要，于是取正整数则当时，就有，故3证明 4 证明 当时，显然；当时，显然()，要使，由于，因此只要，于是取正整数则当时，就有，故综上所述，当时，5证明 (定义证明)令，则有，即，进而，即，要使，只要，即，于是取正整数则当时，就有，故(夹逼定理证明) 由于，并且，因此5 证明 由数列有界知，使得数列的每一项都有又，则有，存在，当时，进而当时，因此1.2 函数的极限1证明 ，当时，因此2证明 ，要使，只要，于是取正数则当时，就有，故3 4解 5解 另解 6 因为，即因此函数在点处极限存在，并且7 8 9 另解 10 另解 1.3 无穷小与无穷大1因为， ，即时是有界变量，是无穷小量，因此2 (利用无穷大的定义求解) ，要使，只要，即，于是取，当时，所以是时的无穷大量，即另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当时，但是，进而根据无穷大与无穷小的关系有，3 (利用无穷大的定义求解)，要使，只要，即，于是取，当时，所以是时的无穷大量，即4 5 6设，当时，有界，则存在，使得当时，当时，是无穷大量，则，存在，当时，取，则当时，因此是时的无穷大量7 在不是有界变量，即在是无界的因为，存在，使得下面证明当时，不是无穷大量，对于，存在，使得，并且因此当时，不是无穷大量1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数的定义域是由于函数是初等函数，因此的连续区间是(2) 函数的定义域是由于函数是初等函数，因此的在区间内连续又，则在处右连续；，则在处左连续因此的连续区间是(3) 函数的定义域是显然函数在区间内连续又，则在处右连续；，即，则在处连续；，即在处不左连续，则在处不连续；，则在处左连续因此的连续区间是2 (1) 函数的定义域是，进而函数的间断点只可能为和对于，因此是函数的第一类间断点中的可去间断点对于，因此是函数的第二类间断点中的无穷间断点综上，是函数的第一类间断点中的可去间断点，是第二类间断点中的无穷间断点(2) 显然函数的定义域是，进而函数的间断点只可能为和对于，因此是函数的第一类间断点中的可去间断点对于， ，因此当时，是函数的第二类间断点中的无穷间断点对于， ， 因此是函数的第一类间断点中的可去间断点综上，和是函数的第一类间断点中的可去间断点，是第二类间断点中的无穷间断点(3) 显然函数的定义域是，进而函数的间断点只可能为和对于， 因此是的第二类间断点中的无穷间断点对于，即函数在处的左右极限存在，但不相等，因此是的第一类间断点中的跳跃间断点综上，是的第二类间断点中的无穷间断点，是第一类间断点中的跳跃间断点(4) 显然函数的定义域为，进而的间断点只可能为， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点(5) 显然函数的定义域为，进而的间断点只可能为和对于， 因此是的第一类间断点中的可去间断点对于， 因此是的第二类间断点中的无穷间断点因此是的第一类间断点中的可去间断点，是第二类间断点中的无穷间断点(6) 显然函数的定义域为，进而的间断点只可能为，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点(7) 显然函数的定义域为，进而的间断点只可能为， 因此是的第二类间断点中的无穷间断点1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当时，则有；当时，并且，则有；当时，则有因此显然函数在区间内连续对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点综上，函数的连续区间是，函数的第一类间断点中的跳跃间断点 (2) 显然时，函数无定义；当时，则有；当时，则有；当时，则有因此显然函数在区间内连续对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点综上，函数的连续区间是，函数的第一类间断点中的跳跃间断点(3) 当时，则有；当时，则有；当时，则有因此显然函数在区间内连续对于，因此在处右连续对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点综上，函数的连续区间是，函数的第一类间断点中的跳跃间断点(4) 当时，则有；当时，则有；当时，则有因此显然函数在区间内连续对于， ，即在处的左右极限存在，但不相等，因此函数的第一类间断点中的跳跃间断点综上，函数的连续区间是，函数的第一类间断点中的跳跃间断点 (5) 显然时，函数无定义又，因此，并且定义域为显然函数在区间内连续对于，因此函数的第二类间断点中的无穷间断点综上，函数的连续区间是，函数的第二类间断点中的无穷间断点 2 (1) 因为函数在区间内是初等函数，因此函数在连续，只需在分段点处连续，即又在处， ，因此由于，即，因此综上当时，函数在上连续(2) 因为函数在区间内是初等函数，因此函数在连续，只需在分段点处连续，即，在处， ，因此在处， ，因此于是有，解得综上当时，函数在上连续3 在处连续，则，即由于，则有，即，进而从而因此，即，于是综上当时，在处连续1.6 闭区间上连续函数的性质1若，则或因此下面假设令显然在上连续，并且由于，所以有，从而根据根的存在定理知，使得，即 综上存在一点，使得2由于，则令显然在上连续，并且，从而根据根的存在定理知，使得，即3令显然在上连续，并且，又，因此从而根据根的存在定理知，使得，即4方程可以变为令显然在上连续，并且，由于，所以，进而根据根的存在定理知，使得，即，使得，5 (反证法)假设存在，使得 若 (或)， 则 函数在 (或)内连续，并且，即因此存在 (或)， 即，使得这与和是相邻的两个根相矛盾故都有6若，则显然方程有一个根是下面假设令显然在上连续，并且， (因为)， 进而因此存在，使得，即在区间上至少有一个根综上方程至少有一正根，并且它不超过7 令，则中至少有一个使得，至少有一个使得，显然有若这个不等式中有一等号成立，则对应的或即为所求的点若不等式都是严格不等式时，又在或上连续，由介值定理知，至少存在一点介于与之间，使得 综上存在，使得习 题 11 ，要使，只要，于是取正整数，当时，因此2由于当时，所以进而3因为，则有，并且，因此4 令，则，并且因此5 6任取，对，存在，当时，因此，即在处连续由的任意性知，在上连续当时, 因此， 即在处右连续当时，因此，即在处左连续综上在上连续，又由于，所以根据根的存在定理知，存在使得7 函数的定义域为显然的间断点只可能是，和由于在区间，内是初等函数，因此在这些区间上连续对于，则有不存在，但是在到1之间来回振荡，因此是的第二类间断点中的振荡间断点对于， ，即左右极限存在但不相等, 因此是的第一类间断点中的跳跃间断点对于, ， 因此是的第一类间断点中的可去间断点对于，因此 是的第二类间断点中的无穷间断点综上所述，函数在区间，内连续；是第一类间断点中的跳跃间断点；是第一类间断点中的可去间断点；是第二类间断点中的振荡间断点；是第二类间断点中的无穷间断点8先证命题：若在上连续，则在上也连续由于在上连续，则任取， (时取右极限，时取左极限)若，则根据极限的局部保号性知，在的某个邻域内，进而()，注意时取右极限，时取左极限因此在上也连续由于在上连续，则在上连续，进而在上连续又，因此在上连续9由于n为非零有理数，则可令，其中为非零整数，并且进而与方程同解(存在性)令则在内连续，并且当时，因此存在使得 显然在上连续，并且，根据介值定理知，存在，使得， 即是方程的一个正根(唯一性)假设是方程的两个正根. 进而有，即，由于，则因此，即方程只有一个正根10狄利克雷(Dirichlet)函数 显然狄利克雷函数在上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续第二章 一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A ；(2) 2 函数在处可导，则函数在处必连续；(3) 0 是常值函数，因此；(4) 0 驻点：函数的导数值为0的点2 (1) (2) (3) (4) 3 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 4因为，即，因此在处连续因为不存在，因此在处不可导5 (1) 因为，故曲线在点处的切线斜率为，进而曲线在点处的切线方程是，法线方程是(2) 因为，故曲线在点处的切线斜率为，进而曲线在点处的切线方程是，法线方程是(3) 因为，故曲线在点处的切线斜率为，进而曲线在点处的切线方程是，法线方程是6因为速度是，加速度是，因此速度，即秒时，运动物体的速度是，加速度是2.2 求导公式和求导法则1 (1)(2)(3)(4) (5)(6)(7)(8)(9) (10)(11) (12) 另解(13) (14) (15) 另解(16)2 (1) (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)另解(15)(16)(17)(18)3 (1) 由于，因此(2) 由于，因此(3) 由于，因此(4) 由于，因此4 (1) (2) (3) (4) 5 (1) (2) (3) (4) 2.3 隐函数的求导方法1 (1) 方程两边求导 ，即，因此(2) 方程两边求导 ， 即 ，因此另解 方程两边求导 ， 即 ，因此(3) 方程两边求导 ，即，因此，即另解 方程两边求导，即，进而，因此(4) 方程两边求导，即， 因此另解 方程两边求导，即， 因此(5) 方程两边求导，即，因此另解 方程可以变为，方程两边求导，即，因此(6) 方程两边求导，即，因此2对方程两边求导，即，解出得当时，则代入方程得因此3对曲线方程两边求导，解出得因此在点处的切线斜率为，进而切线方程是， 即为4 (1) 取对数 ， 求导数 ，解出 ， 即另外的书写方式 由于，则有(2) 取对数 ， 求导数 ，解出 ， 即另外的书写方式 由于，则有(3) 取对数 ， 求导数 ，解出 ， 即 (4) 取对数 ， 求导数 ，解出 ， 即 (5) 取对数 ， 求导数 ，即， 因此 5 (1) 因为，因此参数方程确定的函数的导数是参数方程(2) 因为，因此参数方程确定的函数的导数是参数方程6 (1)方程两边求导， 再次求导，解出得，因此， 即(2) 方程两边求导， 再次求导，解出得，因此，即另解 方程两边求导， 再次求导，解出得，因此，即7 (1) ，因此参数方程确定的函数的导数是进而，即参数方程确定的函数的二阶导数是(2) ，因此参数方程确定的函数的导数是进而，即参数方程确定的函数的二阶导数是2.4 高阶导数1 (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(6) ，(7) ，(8) ，(9) ，2 (1) ，(2) ，3 (1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(5) ， ，2.5 微分1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 (1) ，(2) ，(3) ，3改变量微分4 由1变化到的改变量，改变量微分5 ，当时，.因此6设球的半径为，则球的体重为根据题意假设，即，进而，7令当时，即进而时，习 题 2一、1 分析 由于，因此选A2 分析 由于，即，因此不存在选D3 分析 选A4 分析 选D5分析 因为，即，因此在处连续又，即选B6 分析 由于，故函数在点处连续；又极限不存在，因此在点处不可导选A7 分析 在处连续不可导，在其它点处可导；是上的可导函数；是上的可导函数只有在处连续不可导选B8 分析 A ，即,故在点处不可导B ，故在点处不可导C ，故在点处可导 D 由于函数在处无定义，所以在点处不可导选C9 分析 例如在处不可导，但是曲线点处有垂直于轴的切线；在处不可导，并且曲线点处没有切线选D10分析 根据导数的几何意义，容易得到选A二、1分析 (过点的切线的斜率为)2分析 3 (根据导数的几何意义)3分析 (复合函数求导法则)4分析 (复合函数求导法则)5分析 (， ，)6分析 (求导公式与四则运算求导法则)7分析 (，)8分析 0 (是常数，而常数的导数为0)9分析 (复合函数求导法则)10分析 2 (，2)11分析 (，)12分析 (求导公式与四则运算求导法则)13分析 ()14分析 (，)15分析 (复合函数微分运算法则)16分析 (函数微分就是函数增量的近似值，)三、1因为，所以2 3 4 5 ， ，6 ，7 ，8因为，所以点处的切线的斜率为，进而在点处的切线是，即9 ，即10 ，即11 ，12 ，13由于，并且，同理因此14 ，当时，代入方程得，进而14 ，当时，代入方程得，进而第三章 微分中值定理及导数的应用3.1 微分中值定理1显然函数在区间上连续，在内可导，并且，因此函数满足罗尔定理的条件，即存在，使得2显然函数在区间上连续,在内可导，因此函数满足拉格朗日中值定理的条件，即存在，使得3 (正根存在性) 令，则在上连续，并且，根据根的存在定理知，存在一点，使得， 即是方程的一个小于1的正根(唯一性) 用反证法证明设是方程的两个不同的根不妨设，则显然有在上连续，内可导，并且，即在上满足罗尔定理因此存在，使得，