2016-2017学年四川省眉山市高二下学期期末考试语文试题.doc
2016-2017学年四川省眉山市高二下学期期末考试.zip
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2016-2017学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大題共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合題目要求的1（5分）设i为虚数单位，则复数的虚部是（）a3ib3ic3d32（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）abcd3（5分）一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）a18人b16人c14人d12人4（5分）利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a1）0成立的概率是（）abcd5（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）ab9cd6（5分）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为（）abcd7（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）abcd8（5分）已知，当p（x=k）（kn，0k8）取得最大值时，k的值是（）a7b6c5d49（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）abcd10（5分）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）a24b36c48d6011（5分）设函数f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）为其导函数当x0时，xf（x）+f（x）0，且f（1）=0，则不等式f（x）0的解集为（）a（，1）（1，+）b（，1）（0，1）c（1，0）（0，1）d（1，0）（1，+）12（5分）若函数f（x）=x3+a|x21|，ar，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）a1个b2个c3个d5个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）观察下列各式：c=40；c+c=41；c+c+c=42；c+c+c+c=43；照此规律，当nn*时，c+c+c+c= 14（5分）在某项测量中，测量结果服从正态分布n（1，2）（0），若在（0，1）内的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为 15（5分）己知a=（sinx+cosx）dx，在（1+x）（a+x）5 的展开式中，x3 的系数为 （用数字作答）16（5分）若不等式x2+2xym（2x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数m的最小值为 三、解答题：本大題共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题 分组 频数 频率50，60） 5 0.0560，70） a 0.2070，80） 35 b80，90） 25 0.2590，100） 15 0.15 合计 100 1.00（ i）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（）在第（）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在90，100的概率18（12分）己知（2x）5（）求展开式中含项的系数（）设（2x）5的展开式中前三项的二项式系数之和为m，（1+ax）6的展开式中各项系数之和为n，若4m=n，求实数a的值19（12分）2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程为了探究车流量与pm2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与pm2.5的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七车流量x（万辆）1234567pm2.5的浓度y（微克/立方米）28303541495662（）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（）（）利用（）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时pm2.5的浓度；（）规定：当一天内pm2.5的浓度平均值在（0，50内，空气质量等级为优；当一天内pm2.5的浓度平均值在（50，100内，空气质量等级为良为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是=x+，其中=，=20（12分）随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表年龄（岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数51012721（i）由以上统计数据填写下面 22 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异； 年龄不低于45岁的人年龄低于45岁的人合计赞成不赞成合计（）若对年龄在55，65），65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为x，求随机变量x的分布列和数学期望参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d参考数据：p（k2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.82821（12分）已知f（x）=exax2，g（x）是f（x）的导函数（i ）求g（x）的极值；（ii）证明：对任意实数xr，都有f（x）x2ax+1恒成立：（）若f（x）x+1在x0时恒成立，求实数a的取值范围22（12分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当nn*，且n2时证明不等式：ln（+1）（+1）（+1）+2016-2017学年四川省眉山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大題共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合題目要求的1（5分）（2017宣城二模）设i为虚数单位，则复数的虚部是（）a3ib3ic3d3【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=3i+2的虚部是3故选：d【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）（2017淮南一模）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（）abcd【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从五个数中随机抽取2个不同的数有c52种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，代入公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有c52种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到p=，故选b【点评】数字问题是概率中的一大类问题，条件变换多样，把概率问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏3（5分）（2017宣城二模）一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）a18人b16人c14人d12人【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：有运动员98人，其中女运动员42人，男运动员56人，每名运动员被抽到的概率都是，男运动员应抽取56=16，故选：b【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出对应的人数比是解决本题的关键4（5分）（2017鹰潭一模）利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a1）0成立的概率是（）abcd【分析】根据不等式的解法，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由ln（3a1）0得03a11，可得a，则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a1）0成立的概率是p=，故选：c【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，比较基础5（5分）（2017于都县模拟）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）ab9cd【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得 或则围成图形的面积为=故答案为 【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题6（5分）（2017湖南一模）甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为（）abcd【分析】由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件a，“乙射击一次，击中目标”为事件b，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得答案【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件a，“乙射击一次，击中目标”为事件b，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则p（a）=，p（）=1=，p（b）=p，p（）=1p，依题意得：（1p）+p=，解可得，p=，故选c【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，关键是根据相互独立事件概率得到关于p的方程7（5分）（2017张家界一模）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）abcd【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除b，d，通过函数的单调性排除c，推出结果即可【解答】解：令g（x）=xlnx1，则，由g（x）0，得x1，即函数g（x）在（1，+）上单调递增，由g（x）0得0x1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x（0，1）（1，+），有g（x）0，故排除b、d，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除c，故选a【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力8（5分）（2017春眉山期末）已知，当p（x=k）（kn，0k8）取得最大值时，k的值是（）a7b6c5d4【分析】根据变量符号二项分布，写出变量对应的概率的表示式，整理得到在概率的表示式中，只有组合数是一个变量，根据组合数的性质得到结果【解答】解：，p（x=k）=当p（x=k）（kn，0k8）取得最大值时只有c8k是一个变量，根据组合数的性质得到当k=4时，概率取得最大值，故选d【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是写出变量的概率，整理出发现概率只与组合数有关9（5分）（2017山西一模）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）abcd【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为+=，其中比赛进行了3局的概率为+=，所求概率为=，故选b【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题10（5分）（2013昌平区一模）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）a24b36c48d60【分析】若第一个出场的是男生，方法有 =36种若第一个出场的是女生（不是女生甲），用插空法求得方法有 =24种，把这两种情况的方法数相加，即得所求【解答】解：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 =36种若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有 =24种故所有的出场顺序的排法种数为 36+24=60，故选d【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11（5分）（2017春眉山期末）设函数f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）为其导函数当x0时，xf（x）+f（x）0，且f（1）=0，则不等式f（x）0的解集为（）a（，1）（1，+）b（，1）（0，1）c（1，0）（0，1）d（1，0）（1，+）【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集【解答】解：设g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）+xf（x）=f（x）+xf（x）0恒成立，函数g（x）在区间（0，+）上是增函数，f（x）是定义在r上的偶函数，g（x）=xf（x）是r上的奇函数，函数g（x）在区间（，0）上是增函数，f（1）=0，f（1）=0； 即g（1）=0，g（1）=0xf（x）0化为g（x）0，当x0时，不等式f（x）0等价于g（x）0，即g（x）g（1），即x1；当x0时，不等式f（x）0等价于g（x）0，即g（x）g（1），即x1故所求的解集为（，1）（1，+）；故选：a【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值12（5分）（2013浙江模拟）若函数f（x）=x3+a|x21|，ar，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）a1个b2个c3个d5个【分析】先令a=0，即可排除a，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断【解答】解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（，+）上为增函数，有一个单调区间 当a0时，f（x）=x3+a|x21|arf（x）=f（x）=（2）当0a时，0，0，导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）x（，0时，f（x）0，x（0，m）时，f（x）0，xm，+）时，f（x）0，f（x）在x（，0时，单调递增，x（0，m）时，单调递减，xm，+）时，单调递增，有3个单调区间 （3）当a3时，1，1，导函数的图象如图2：（其中n为x1时图象与x轴交点的横坐标）x（，n时，f（x）0，x（n，1时，f（x）0，x（1，0）时，f（x）0，x0，1）时，f（x）0，x1，+）时，f（x）0函数f（x）在x（，n时，单调递增，x（n，1时，单调递减，x（1，0）时，单调递增，x0，1）时，单调递减，x1，+）时，单调递增，有5个单调区间 由排除a、c、d，故选b【点评】本题考查了含绝对值函数的单调区间的判断方法，利用导数研究三次函数单调区间的方法，函数与其导函数图象间的关系，排除法解选择题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（2015山东）观察下列各式：c=40；c+c=41；c+c+c=42；c+c+c+c=43；照此规律，当nn*时，c+c+c+c=4n1【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果【解答】解：因为c=40；c+c=41；c+c+c=42；c+c+c+c=43；照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当nn*时，c+c+c+c=4n1；故答案为：4n1【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键14（5分）（2016平度市三模）在某项测量中，测量结果服从正态分布n（1，2）（0），若在（0，1）内的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为0.8【分析】根据变量符合正态分布和在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知在（1，2）内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率【解答】解：服从正态分布n（1，2），在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知在（1，2）内的取值概率也为0.4，p（02）=p（01）+p（12）=0.4+0.4=0.8故答案为：0.8【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的基本性质，考查互斥事件的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大，不易出错15（5分）（2017春眉山期末）己知a=（sinx+cosx）dx，在（1+x）（a+x）5 的展开式中，x3 的系数为120（用数字作答）【分析】求定积分可得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得x3 的系数【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（sinxcosx）=1（1）=2，在（1+x）（a+x）5=（1+x）（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为4+8=120，故答案为：120【点评】本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题16（5分）（2012贾汪区校级模拟）若不等式x2+2xym（2x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数m的最小值为1【分析】由题意可得：原不等式恒成立转化为不等式（2m1）x22xy+my20对于一切正数x，y恒成立，即不等式（2m1）2+m0对于一切正数x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有关知识解决问题即可【解答】解：由题意可得：不等式x2+2xym（2x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，即不等式（2m1）x22xy+my20对于一切正数x，y恒成立，即不等式（2m1）2+m0对于一切正数x，y恒成立，设t=，则有t0，所以（2m1）t22t+m0对于一切t（0，+）恒成立，设f（t）=（2m1）t22t+m，（t0），m=时，显然不符合题意，故舍去当m时，函数的对称轴为t0=，所以由题意可得：，解得m1故答案为1【点评】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想以及整体代换的技巧三、解答题：本大題共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）（2017淮南一模）为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题 分组 频数 频率50，60） 5 0.0560，70） a 0.2070，80） 35 b80，90） 25 0.2590，100） 15 0.15 合计 100 1.00（ i）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；（）在第（）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在90，100的概率【分析】（）由频率分布表得，由此能求出a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率（）按成绩分层抽样抽取20人时，由随机抽取一考生恰为优秀生的概率能求出优秀生应抽取的人数（）8人中，成绩在80，90）的有5人，成绩在90，100的有3人，从8个人中选2个人，结果共有n=28种选法，其中至少有一人成绩在90，100的情况有两种：可能有1人成绩在90，100，也可能有2人成绩在90，100，由此能示出至少一人的成绩在90，100的概率【解答】解：（）由频率分布表得：，解得a=20，b=0.35，由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为：p=0.25+0.15=0.4（）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取200.4=8人（）8人中，成绩在80，90）的有：200.25=5人，成绩在90，100的有：200.15=3人，从8个人中选2个人，结果共有n=28种选法，其中至少有一人成绩在90，100的情况有两种：可能有1人成绩在90，100，也可能有2人成绩在90，100，所以共有53+3=18种，至少一人的成绩在90，100的概率【点评】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用18（12分）（2017春眉山期末）己知（2x）5（）求展开式中含项的系数（）设（2x）5的展开式中前三项的二项式系数之和为m，（1+ax）6的展开式中各项系数之和为n，若4m=n，求实数a的值【分析】（）tr+1=（2x）5r=（1）r25r令5r=1，解得r，即可得出（）由题意可知：m=+=16，n=（1+a）6因为4m=n，即（1+a）6=64，解得a即可得出【解答】解：（）tr+1=（2x）5r=（1）r25r，令5r=1，则r=4，展开式中含的项为：t5=（1）42x1=，展开式中含的项的系数为10（6分）（）由题意可知：m=+=16，n=（1+a）6因为4m=n，即（1+a）6=64，a=1或a=3（少一个答案扣2分）（12分）【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017郴州二模）2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程为了探究车流量与pm2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与pm2.5的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七车流量x（万辆）1234567pm2.5的浓度y（微克/立方米）28303541495662（）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（）（）利用（）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时pm2.5的浓度；（）规定：当一天内pm2.5的浓度平均值在（0，50内，空气质量等级为优；当一天内pm2.5的浓度平均值在（50，100内，空气质量等级为良为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是=x+，其中=，=【分析】（）根据公式求出回归系数，可写出线性回归方程；（）（）根据（）的性回归方程，代入x=8求出pm2.5的浓度；（）根据题意信息得：6x+19100，即x13.5，解得x的取值范围即可【解答】解：（）由数据可得：，（1分），（2分），（4分），（6分）（7分）故y关于x的线性回归方程为（8分）（）（）当车流量为8万辆时，即x=8时，故车流量为8万辆时，pm2.5的浓度为67微克/立方米（10分）（）根据题意信息得：6x+19100，即x13.5，（11分）故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内（12分）【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力，属于中档题20（12分）（2016安徽模拟）随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表年龄（岁）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）频数510151055赞成人数51012721（i）由以上统计数据填写下面 22 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异； 年龄不低于45岁的人年龄低于45岁的人合计赞成不赞成合计（）若对年龄在55，65），65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为x，求随机变量x的分布列和数学期望参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d参考数据：p（k2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【分析】（i）根据题目中的数据填写列联表，利用公式计算k2，对照数表即可得出结论；（）根据题意得出x的所有可能取值，计算对应的概率值，写出x的分布列与数学期望值【解答】解：（i）由以上统计数据填写下面 22 列联表，如下； 年龄不低于45岁的人年龄低于45岁的人合计赞成102737不赞成10313合计203050根据公式计算k2=9.986.635，所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；（）根据题意，x的所有可能取值为0，1，2，3，则p（x=0）=，p（x=1）=+=+=，p（x=2）=+=+=，p（x=3）=；随机变量x的分布列为： x 0 1 2 3 p 所以x的数学期望为ex=0+1+2+3=【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目21（12分）（2017春眉山期末）已知f（x）=exax2，g（x）是f（x）的导函数（i ）求g（x）的极值；（ii）证明：对任意实数xr，都有f（x）x2ax+1恒成立：（）若f（x）x+1在x0时恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数的导数，问题转化为证exx+1，令k（x）=ex1x，根据函数的单调性证明即可；（）令h（x）=exax2x1，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出h（x）h（0），求出a的范围即可【解答】解：（）f（x）=exax2，g（x）=f（x）=ex2ax，g（x）=ex2a，当a0时，g（x）0恒成立，g（x）无极值； 当a0时，g（x）=0，即x=ln（2a），由g（x）0，得xln（2a）；由g（x）0，得xln（2a），所以当x=ln（2a）时，有极小值2a2aln（2a）（）因为f（x）=ex2ax，所以要证f（x）x2ax+1，只需证exx+1，令k（x）=ex1x，则k（x）=ex1，且k（x）0，得x0；k（x）0，得x0，k（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，k（x）k（0）=0，即ex1+x恒成立，对任意实数xr，都有f（x）x2ax+1恒成立；（）令h（x）=exax2x1，则h（x）=ex12ax，注意到h（0）=h（0）=0，由（）知ex1+x恒成立，故h（x）x2ax=（12a）x，当a时，12a0，h（x）0，于是当x0时，h（x）h（0）=0，即f（x）x+1成立当a时，由ex1+x（x0）可得ex1x（x0）h（x）ex1+2a（ex1）=ex（ex1）（ex2a），故当x（0，ln（2a）时，h（x）0，于是当x（0，ln（2a）时，h（x）h（0）=0，f（x）x+1不成立综上，a的取值范围为（，【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22（12分）（2015山东一模）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当nn*，且n2时证明不等式：ln（+1）（+1）（+1）+【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式的方程即可得到；（2）求出导数，讨论当b时，当b0时，0b时，令导数大于0得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；（3）b=1时，f（x）=x2ln（x+1），令h（x）=x3f（x）=x3x2+ln（x+1），求出导数，运用单调性得到当x0时，x3x2+ln（x+1）0，即ln（x+1）+x3x2，对任意的n为正整数，取x=，有ln（1+）+再由对数的性质和裂项相消求和即可得证【解答】（1）解：f（x）=x2+ln（1+x），则f（x）=2x+，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线斜率为f（0）=1，切点为（0，0），则切线方程为y=x；（2）f（x）=2x+=（x1），当b时，f（x）0，f（x）在x1上递增；当b，f（x）=0，解得，x1=，x2=，当b0时，x11，x21，f（x）0，得xx2，f（x）0，得1xx2，当0b时，x11，x21，f（x）0，得xx2，1xx1，f（x）0，得x1xx2；综上可得，当b时，f（x）的增区间为（1，+）；当b0时，f（x）的增区间为（，+），减区间为（1，）；当0b时，f（x）的增区间为（，+），（1，）减区间为（，）；（3）b=1时，f（x）=x2ln（x+1），令h（x）=x3f（x）=x3x2+ln（x+1），h（x）=在x0恒正，h（x）在0，+）递增，x0时，h（x）h（0）=0，即当x0时，x3x2+ln（x+1）0，即ln（x+1）+x3x2，对任意的n为正整数，取x=，有ln（1+）+则ln（+1）（+1）（+1）+=ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+=+=【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查函数的单调性的运用：证明不等式，考查放缩法和裂项相消求和的方法，考查运算能力，属于中档题27眉山市高中2018届第四学期期末教学质量检测数学试题卷（文史类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ）a. 假设都是偶数 b. 假设都不是偶数c. 假设至多有一个偶数 d. 假设至多有两个偶数【答案】b【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选b.考点：命题的否定.2. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）a. b. c. 3 d. -3【答案】d【解析】试题分析：，所以其虚部为，选d考点：复数的运算3. 从数字1，2，3，4这四个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】从数字1，2，3，4这四个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数，这2个数的和为偶数的概率是.本题选择b选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.4. 已知，则不等式成立的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由ln(3a1)0得03a11，可得，则a(0,1)，不等式ln(3a1)0化为g(x)0，当x0时,不等式f(x)0等价于g(x)0,即g(x)g(1)，即x1；当x0等价于g(x)0,即g(x)g(1)，即x1.故所求的解集为(,1)(1,+).本题选择c选项.12. 若函数，则对于不同的实数，函数的单调区间个数不可能是（ ）a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 5个【答案】b【解析】 由题意，(1)当时，在上为增函数，只有一个单调区间， 当时，因为， 所以 所以（2）当时，因为， 所以导数的图象如图所示，其中为图象与轴的交点横坐标，所以时，时，时，所以在时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增，所以函数有三个单调区间（3）当时，所以导数的图象如图所示（其中为时图象与轴交点的横坐标） 所以当时，当时，当时，当时，当时，所以在时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增，时，单调递减；时，单调递增，共有5个单调区间，由此可得a、c、d不正确，故选b点睛：本题主要考查了含绝对值的函数的单调性与单调区间的判定方法，利用导数研究三次函数的单调性及单调区间的求解，准确把握函数的性质与函数的图象、函数的导数之间的关系是解答的关键，正确把握函数性质的研究方法是解答的关键第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，则该35名运动员成绩的中位数为_【答案】143【解析】阅读茎叶图，可得学生的成绩分别为：130,130,133,134,135,136,136,138,138,138,139,141,141,141,142,142,142,143,143,144,144,145,145,145,146,146,147,148,150,151,152,152,153,153,153,结合中位数的定义可得该35名学生的中位数值为143.14. 在函数的所有切线中，斜率最小的切线方程为_【答案】【解析】，当x=1时，切线的斜率最小值且为2，当x=1时, ,切点为，切线的方程为，即.15. 如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，利用随机模拟方法计算阴影部分面积时，利用计算器产生两组01之间的均匀随机数，然后进行平移与伸缩变换，试验进行100次，前98次中落在阴影部分内的样本点数为40，且最后两次试验的随机数为，及，那么本次模拟得出的面积约为_【答案】【解析】利用所给的伸缩变换与平移变换可得：最后两次模拟的数据变换之后：，则该点不在阴影区域之内，则该点在阴影区域之内，综上可得，100次试验中有41次落在阴影区域之内，据此求得面积为：.16. 若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为_【答案】1【解析】 由题意得，不等式对于一切实数恒成立， 即不等式对于一切实数恒成立， 即不等式对于一切实数恒成立， 令，则有，所以对于恒成立，所以对于一切恒成立，令，则所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，所以时，函数取得最大值，实数的最小值为 点睛：本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数研究函数的单调性与极值、最值，同时考查了转化与化归思想，分离参数和换元思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把不等式对于一切实数恒成立转化为对于一切实数恒成立，进而分离参数，设处函数，利用函数的性质是解答的关键三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数,满足100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题.分组频数频率50.050.2035250.25150.15合计1001.00（1）求的值并估计这100名考生成绩的平均分；（2）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；【答案】（1）；平均分 （2）优秀生应抽取8人【解析】试题分析：(1)由频率分布表可得；据此估计这100名考生成绩的平均分；(2)利用分层抽样的定义结合抽样比可得优秀生应抽取8人.试题解析：（1）由频率分布表得：,解得 ，平均分 （注：计算平均分，列式正确，结果错误扣2分）（2）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取200.4=8人18. 已知袋中放有形状大小相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率为，现从袋中不放回地随机取出2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.（1）记“”为事件，求事件发生的概率.（2）在区间上任取两个实数，求事件“恒成立”的概率.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)由题意可得基本事件的总数为12，利用古典概型公式可得事件发生的概率；(2)利用题意得到关于x,y的不等式组，结合线性规划相关知识和几何概型计算公式可得事件“恒成立”的概率.试题解析：（1）由题意可知，基本事件的总数为12，事件所包含的基本事件个数为4事件发生的概率 （2）由题意得 ，事件恒成立有几何概型知 19. 2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七车流量（万辆）1234567的浓度（微克/立方米）28303541495662（1）由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）（i）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时的浓度；（ii）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中，.【答案】（）x的线性回归方程为（）车流量为8万辆时，pm2.5的浓度为67微克/立方米；应控制当天车流量在13万辆以内【解析】试题分析：（）由表中数据先计算，代入公式求出，由求出即可得出线性回归方程；（）（）由（）中公式，令计算即可；（）解不等式即可.试题解析： （）由数据可得：，（1分），（2分），（4分），（6分）（7分）故关于的线性回归方程为（8分）（）（）当车流量为万辆时，即时，故车流量为万辆时，的浓度为微克/立方米（10分）（）根据题意信息得：，即，（11分）故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在万辆以内（12分）考点：线性回归.20. 随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表：年龄（岁）频数510151055赞
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