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信号 分析 处理 习题 答案

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习题习题 1 1 1 判断题 1 1 图所示各信号的波形是连续时间信号还是离散时间信号 若是连续时间信号 是否为模拟信号 若是离散时间信号是否为数字信号 1 2 3 4 题 1 1 图 信号波形 解 1 时间连续函数值连续 连续时间信号 模拟信号 2 时间连续函数值离散 连续时间信号 不是模拟信号 3 时间离散函数值离散量化 离散时间信号 数字信号 4 时间离散函数值非量化 离散时间信号 不是数字信号 1 2 判断以下各信号是能量信号还是功率信号 是周期信号还是非周期信号 若是周期信 号 试求出其周期 T 1 sin at et t 2 cos 10 cos 30 tt 3 cos 2 sin tt 4 2 5sin 8 t 5 10 tt 6 1 0 2 0 0 n n x n n 则为指数衰减信号为能量信号 2 2 0 22 00 1 cos 2 sindd 2 1 dcos 2d 2 atat atat t Wetttet etett 22 0 11 d 022 atat ete aa 222222 000 22 00 22 22 11 cos 2dd d 22 111 222 12 1 42 ajtajtatatj tj t ajtajt etteeeteet ee ajaj aa aa 22 00 22 2222 1 dcos 2d 2 112 2 224 atat Wetett aa aaa a 2 cos 10 cos 30 tt 1 5 T 2 15 T 则为周期信号 5 T 时间上无限延续 则判断功率 Tdt t tt t dtttttdttxp T T T T T T 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 60cos 20cos 40cos 2 1 20cos 30 cos 30cos 10cos 2 10 cos 余弦信号在一个周期内积分为零 11lim 1 lim 1 TT def p T p 2 2 2 1 lim T T T def dttx T p 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 8 75 8 75 lim 1 lim 1 TT def p T p 功率信号 5 能量信号 非周期信号 6 1 0 2 0 0 n n x n n 指数衰减信号则为能量信号 非周期信号 2 00 1114 1 243 1 4 nn nn W 1 3 已知信号 x t的波形如题 1 3 所示 试画出下列各信号的波形 1 1 x tt 2 2 xt 3 12 xt 4 1 2 2 xt 5 dx t dt 6 t xdxx 22t x t o 2 4 12t o 2 4 13 2t o 2 4 13 4 12t o 2 4 1 题 1 3 图 4t o 2 4 268 22 t o 2 d 2 4 x t xdx 22 to 2 4 6 10 8 1 4 给定序列 2131 103 0 nn x nn n 其它 1 画出 x n的波形 2 画出2 2 xn 的波形 3 画出2 2 xn x n 的波形 解 1 O 1 n 3 5 2 O 2 n 2 6 10 题 1 4 图 1 题 1 4 图 2 2 O 2 n 2 题 1 4 图 3 1 5 信号 tx的波形如题 1 5 所示 1 画出 t tx ty d d 的波形 2 画出 d t y txxx 的波形 1O1 1 2 t x t 1 O1 1 2 t 1 1 O1 1 2 t 2 5 题 1 5 图 1 6 判定下列系统是否为线性的 时不变的 1 2 2 txtxty 2 t xtyd 3 2 2 txty 4 1 y txtt 5 txty 其中 tx为实信号 6 cos ttxty 解 1 2 2 txtxty 设 y tT x t 121212 1122 12 2 2 2 2 2 2 2 2 T ax tbxtax tbx taxtbxt a x txtb x txt ay tbyt 线性系统 0000 2 2 T x ttx ttxtty tt 时变系统 t有可能小于2t 故为非因果系统 2 t xtyd 1212 T ax tbxtaT x tbT xt 线性系统 0 000 d d tt t T x ttx t xy tt 时不变系统 因果系统 3 2 2 txty 1212 T ax tbxtaT x tbT xt 非线性系统 2 000 2 T x ttxtty tt 时变系统 t有可能小于2t 非因果系统 4 1 ttxty 1212 T ax tbxtaT x tbT xt 线性系统 000 1 T x ttxttty tt 时变系统 t有可能小于1 t 非因果系统 5 txty 其中 tx为实信号 121212 T ax tbxtax tbxtay tbyt 非线性系统 000 T x ttx tty tt 时不变系统 y t只与当前时刻的输入有关 故为因果系统 6 cos ttxty 121212 cosT ax tbxtax tbxttay tbyt 线性系统 000 cosT x ttx ttty tt 时变系统 因果系统 1 7 判定下列离散系统是否为线性的 时不变的 1 2 1 y nx nx n 2 10 0 m y nx nm 3 y nn x nxn 4 ex ny n 解 1 1 2 nxnxny 121212 1122 12 2 1 1 2 1 2 1 T ax nbx nax nbx nax nbx n a x nx nb x nx n ay nby n 线性系统 0000 2 1 T x nnx nnx nny nn 时不变系统 因果系统 2 10 0 m mnxny 线性 时不变 因果系统 3 nxnxnny 121212 1122 12 T ax nbx nn ax nbx naxnbxn a x nxnb x nxn ay nby n 线性系统 0000 y nnnnx nnx nn 0000 T x nnn x nnx nny nn 时变系统 1n 1 1 1 yxx 则输出不仅与当前输入有关还与未来有关 非因果系统 4 e nx ny 1212 1212 eee x nxnx nxn T x nx ny ny n 非线性系统 0 00 e x n n T x nny nn 时不变系统 因果系统 1 8 试分析下列由微分方程描述的系统 是线性的还是非线性的 时变的还是非时变的 1 2 2 y ty tx tx t 2 sin y tty tx t 3 2 6 y ty tx t 4 2 2 y tt y tx t 解 1 常系数线性微分方程 故为线性时不变系统 2 变系数线性微分方程 故为线性时变系统 3 常系数非线性微分方程 故为非线性时不变系统 4 变系数非线性微分方程 故为非线性时变系统 1 9 设输入为 x t 下列是各系统的零状态响应 zs yt 试判断各系统是否为线性的 时不 变的 因果的和稳定的 1 zs dx t yt dt 2 zs ytx t 3 cos 2 zs ytx tt 4 zs ytxt 解 1 1212 12 d ax tbxtdx tdxt T ax tbxtab dtdtdt 12 12zszs dx tdxt aytbytab dtdt 2 式相等 线性系统 0 0 dx tt T x tt dt 0 0zs dx tt ytt dt 2 式相等 时不变系统 当 0 tt 时 0 x t 此时 zs dx t yt dt 0 因果系统 当输入有界 x tt 时 zs dx t ytt dt d 0 zs y 输出无界 不稳定系统 2 1212 T x txtx txt 1212 zszs ytytx txt 2 式不等 非线性系统 00 T x ttx tt 00 zs yttx tt 2 式相等 时不变系统 当 0 tt 时 0 x t 此时 0 zs ytx t 因果系统 若 x t 有 zs yt 稳定系统 3 121212 cos 2 cos 2 cos 2 T ax tbxtax tbxttax ttbxtt 1212 cos 2 cos 2 zszs aytbytax ttbxtt 2 式相等 线性系统 00 cos 2 T x ttx ttt 000 cos 2 zs yttx tttt 2 式不等 时变系统 当 0 tt 时 0 x t 此时 cos 2 0 zs ytx tt 因果系统 若 x t 有 cos 2 zs ytx tt 稳定系统 4 121212 T ax tbxtaxtbxtay tbyt 线性系统 00000 T x ttxtty ttxttxtt 时变系统 反转 非因果系统 输入有界则输出也有界 稳定系统 1 10 某 LTI 连续系统 其初始状态一定 已知当输入为 x t时 其全响应 1 cos 0 t y tet t 若初始状态不变 输入为 2 x t时 其全响应 2 2cos 0ytt t 求初始状态不变 而输入为 3 x t时系统的全响应 解 线性系统可分解为零输入相应 zi y和零状态响应 zs y 根据已知条件 cos t zizs yyet 2cos zizs yyt 联立求解得 2 t zi ye cos t zs yet 输入为 3 x t时系统的全响应 33cos 0 t zizs y tyyet t 1 11 某二阶 LTI 连续系统的初始状态为 1 0 x和 2 0 x 已知当 1 0 1x 2 0 0 x 时 其零输入响应为 2 1 0 tt zi yeet 当 1 0 0 x 2 0 1x 时 其零输入响应为 2 2 0 tt zi yeet 当 1 0 1x 2 0 1x 输 入 为 x t时 其 全 响 应 为 2 0 t y tet 求当 1 0 3x 2 0 2x 输入为 2 x t时系统的全响应 解 利用零输入响应的齐次性和叠加性 由已知可得 当 1 0 1x 2 0 1x 时 其零输入响应为 222 12 2 0 ttttt zizizi yyyeeeeet 输入为 x t时 系统的零状态响应 2 22 0 tt zszi yty tyteet 当 1 0 3x 2 0 2x 输入为 2 x t时系统的全响应为 2 12 3 2 2 473 0 tt zizizs y tytytyteet 习题习题 2 2 1 化简以下各信号的表达式 1 3 t etdtd 2 sin t t dt t d 3 1 1 ttdt d 4 2 t ett dtdd 5 cos 2 d tt dt 6 t d et dt d 解 1 3 e 3 de t ttd 2 sin t t dt t d sin sin 0 c tt dtc d 3 dttt 1 1 d 1 1 2 dttd 4 2 2 2 2 02 e de e d e dee12 13 0 ttt tt tttttt tt t dddd d 5 d cos 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 d ttttttttt t d d 6 te dt d td ttettetete tttt dddddd 2 2 求题 2 2 图示对称周期矩形信号的傅里叶级数 三角形式与指数形式 并画出幅度频谱 O x t tTT 2 T 2 T 2 A 2 A 题 2 2 图 解 一 定义式求解 一 定义式求解 三角形式 三角形式 信号奇对称 0 0 k aa 1 0 22 111 0 22 1 11 1 1 22 sinsinsin 22 0 coscos22cos2 22 0 2 1 cos1 cos 2 TT TT k AA bx tkt dtkt dtkt dt TT T kTAA ktkt T kTk kTAAA k kkk 11 k 011 1 1 1 1 1 1 1 cossin sin 1 cossin 11sin kk k k k k k k x taaktbkt bkt A kkt k A kt k 指数形式 指数形式 1 22 1 cos 2 11 2 11 2 kkkk k k j Xajbb jA k k jA k jA k 111 11 0 22 0 22 2 0 2 1 0 1 1 1 11 22 2 sin cos2 0 1 cos 22 cos1 2 TT jktjktjkt TT k T jktjkt T AA Xx t edtedtedt TT A eedt T jA kt dt T T jA kt kT kTjA k jA k k 11 2 kjA k 2 二 利用一个周期的傅里叶变换 二 利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数 求傅里叶级数的系数 取 2 2 TT 区间的 x t构成单周期信号 其傅里叶变换 22 1 0 2 2 0 dsind cos cos1 2 TT j t T T Xx t etjAtt AjAT jt 0 0 1 0 2 1 cos1 2 cos1 2 sin 2 0 k k kTjA XX TkT jA k k jAk k k jA k k 为偶数 为奇数 则傅里叶级数为 0 jkt k jA x te k 为奇数 利用时域微积分性质 x t 的波形如图 1 所示 图 1 A A 3 0 2 0 2 1 2 1 cos T jkt k T T jkXAtAtedt T A k T dd cos 1 2 cos 1 0 k k jA k Tjk A Xk 利用时域移位性质求解 图 2 参考图 2 有 1 24 AT x tx t 4 0 4 1 0 2 T T A XAdt T 2 42 sincsinc 2222 Tk jkj T k AkAk Xee 当 k 为偶数时0 k X 当 k 为奇数时 k A Xj k tx是奇对称奇谐函数 傅里叶级数中只含有奇次谐波 2 3 如图 2 3 所示的周期单位冲激序列 T k ttkTdd 求其指数形式和三角形式的傅里叶级 数 O T td t T T 2T2T 1 题 2 3 图 解 1 因为周期冲激序列是偶函数 则 2 2 2 sin 0 T Tk btkTk t dt T d A 4 0 1 T ax t dt T 2 2 11 T T t dt TT d 2 2 2 cos T Tk atkTk t dt T d 2 T 其三角形式的傅里叶级数为 0111 11 12 cossincos kk kk x taaktbktkt TT 2 定义法 112 2 111 T jktjkt Tk T Xx t edtt edt TTT d 利用三角式系数 11 2 kkk Xajb T 取 2 2 TT 区间的 x t构成单周期信号 其傅里叶变换 22 1 22 dd1 TT j tj t TT Xx t ett et d 1 1 11 k k XX TT 指数形式的傅里叶级数为 1 1 jkt k x te T 2 4 如图 2 34 所示的周期信号 试求三角形式和指数形式的傅里叶级数表示形式 O x t t TT 2 T 2 T 1 图 2 34 题 2 4 图 解 1 三角形式表达式中 4 121 2 0 0 tdt TT a T 1 cos 1 cos 4 cos 22 22 2 0 1 2 1 2 0 k k tdtkt T dttkt TT a TT n k k dttkt T tdtkt TT b TT n cos sin 4 sin 22 2 0 1 2 1 2 0 即三角形式的表达式为 sin cos cos cos 4 1 11 1 22 tk k k tk k k tx k 2 傅里叶指数表达式中 dtte T dtte TT X T tj T tj n 2 0 2 2 0 221 2222 2 1 22 1 k e k j k jk 5 tjjk k tj k n e k e k j k eXtx 2 1 22 1 2222 2 5 若周期信号 1 x t和 2 x t的波形如题 2 5 图所示 1 x t的参数为 0 5 s T 1 s A 1v 2 x t的 参数为 1 5 s T 3 s A 3v 分别求 O x t tTT A 2 t 2 t 题 2 5 图 1 1 x t的谱线间隔和带宽 2 2 x t的谱线间隔和带宽 3 1 x t和 2 x t的基波幅度之比 4 1 x t和 2 x t的三次谐波幅度之比 解 频谱如图示Sa k Ak X TT t t 1 谱线间隔为基波角频率 11 6 22 rad s 1 MHz 1 10 f T 带宽 6 22 rad s 2 MHz 0 5 10 ww Bf t 2 11 6 221 rad s MHz 3 103 f T 6 222 rad s MHz 1 5 103 ww Bf t 3 1 111 1 11111 22222 22 222 Sa Sa 21 3 Sa Sa 2 k k AkAk XTTTA AkAk XA TTT t tt t tt 3 1 21 11 X X 4 3 1 23 13 X X 2 6 求题 2 6 图所示半波余弦信号的傅里叶级数 若 E 10v f 10kHz 试画出幅度频谱 t 2 t 2 O k X 1 T At 1 1 6 O x t t E T TT 4 T 4 题 2 6 图 解 由图可知 该函数是偶函数 傅里叶三角级数表达式中 只有直流分量系数 0 a和余弦分量系数 k a 正弦分量系数 k b为 0 2 cos t T Etx 则 E t T T T dtt T E T a TT 4 0 4 0 0 2 sin 2 2 2 cos 2 dt tk T tk T T E dttkt T E T a TT k 4 0 4 0 1 2 1 2 cos 1 2 cos 4 cos 2 cos 4 1 2 sin 1 2 1 2 sin 1 2 2 4 0 4 0 TT t T k k T tk Tk T T E 2 111 1 1 2 1 1 1 1 k E kk E Kkk 1 k dt t T T E tdt T E T tdtt T E T a TTT 4 0 4 0 2 4 0 1 2 2 cos1 42 cos 4 cos 2 cos 4 2 4 cos21 2 4 0 E tdt TT E T 所以 4cos 15 4 2cos 3 cos 2 t E t E t EE tx 当fKHZfVE 2 10 10 2 7 求题 2 7 图所示全波整流正弦信号的傅里叶级数 O x t t E sin Et 123 1 2 题 2 7 图 解 由图可知 tx是偶函数 周期1 T 基频 2 2 1 T 傅里叶系数0 k b E t T E tdtE T a T T 2 cossin 1 0 0 0 7 TT k dt tktk T E tdtktE T a 0 11 0 1 2 sin sin 2 cossin 2 2 11 2 11 cos cos 0 1 1 1 1 kk E k tk k tk T E T 41 4 2 k E 即全波整流正弦的傅里叶级数展开形式 2cos 15 2 cos 3 2 1 2 11 tt E tx 2 8 由傅里叶变换的定义求题 2 8 图所示各信号的傅里叶变换 O 1 1 x t tt O 2 x t tt 1 O 3 x t t1 1 1 cos 2 t a b c 题 2 8 图 解 a 1 tx 1 t t0 0 其它 所以 1 1 1 1 0 11 t t t jjtj e j e j dteXtx 2 cos 2 sin2 2 sin2 1 sincos1 1 2 t t t t t j j j j 2 2 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin2 1 t t t t t t t t t t t j eSa jj j b 1 1 t t t0 2 tx 0 其它 则傅里叶变换 8 dtetdtetxXtx tjtj t t t 00 222 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 0 2 0 0 t t t t t tt t t jee jj dte j e j t jtj tjtj c t 2 cos 11 t 3 tx 0 其它 则其傅里叶变换 dtte j te j dtetXtx tjtjtj 2 sin 2 1 2 cos 1 2 cos 1 1 1 1 1 1 33 4 2 1 2 cos 4 2 1 2 cos 4 1 2 sin 2 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 Xee dtteee dtte j te j tjtj tjtjtj tjtj 即 cos 4 4 2 3 2 22 X 得 22 3 2 cos X 2 9 利用傅里叶变换的线性和时移性质 由 2 8 题计算结果求题 2 9 图所示各信号的傅里叶变换 O E x t t12 1 2 O x t t E t2t O x t t 1sint a b c 题 2 9 图 解 a 由图可得 2 1 11 tExtExtxtt 根据傅里叶变换的线性和时移性质 9 t tt t 2 11 jj eX E eX E X 2 3 cos 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 22 t t t tt t t t t t t t ESa eeESaeESaeESa eeSa E eeSa E jjjj j j j j b 由图可得 22 tt tExtExtx 根据傅里叶变换的线性和时移性质 t t jj eEXeEXX 22 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t j j jj jjjj eSaE e E j E j E jj E ee E ejeEejeE 2 2 sin22 sin cos cos 1 2 1 cos cos 2 1 cos sin 1 2sin 2cos sin 2 cos 2 12 1 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 22 c 由图可得 1 2 3 txtx 根据傅里叶变换的线性和时移性质 2 2 2 22 2 3 1 2 cos 2 2 2 2 cos 2 2 2 jjj eeeXX 1 1 1 1 1 2 222 2 j jjj eeee 2 10 利用傅里叶变换的性质 求题 2 10 图所示各信号的傅里叶变换 O x t tt 1 1 t O x t 2tt 1 1 2t O 1 x t t12 1 2 10 a b c 题 2 10 图 解 a O x t tt 1 1 t O x t ttt 1 1 2 2 x ttttdtddt 2 22cos24sin 2 jj j Xee t t t t 2 2cos224 sin 2 jj ee Xj jj t t t t b 2 2 2 1 t t t ttttx 1 2 2 2 2 2 x ttttt t tdtdt t 利用时域微分性质 22 2sinc 2 2sinc 2 2cos 2 jj j Xee t t t t t 2 2 sinc 2 cos 2 1 2cos 2 sin 2 X j j t t t t t t c 2 2 1 1 1 2 1 2 x ttttttttt O 1 x t t12 1 2O 1 x t t12 1 2 1 O 1 x t t12 1 2 1 1 1 1 利用一次微分求解 2 1 1 2 x ttttt 2 2 2 t t t t SaEttE 2 2 2 t t t t SaEttE O x t 2tt 1 1 2t O x t t 1 1 2t 1 2t 2t 11 1 51 5 sa ee2 sin 1 5sa 22 jj j Xj t 1 51 5 2 sin 0 5143 sa ee2sin 1 5sinsin 222 2 jj X t 利用二次微分求解 2 1 1 2 x tttttdddd 2 22 eeee jjjj jX 22 eeee 2cos 22cos jjjj 33 2cos2cos 2222 3333 2 coscossinsin2 coscossinsin 22222222 3 4sinsin 22 22 4343 sinsinsinsin 2222 X j 2 11 求信号 sin ct x t t 的傅里叶变换 解 sin sin tSa t t t t tx c c c ccc 由时域和频域的对偶性 0 0 00 tSaXF 所以 CC X 2 12 求信号 22 1 x t at 的傅里叶变换 解 利用傅里叶变换的对偶性 22 1 2 1 ta e a F a 即 aa e a e ata F 2 1 2 1 1 22 1 5 1 1 5Sa e 2 j gt t 0 j 0 e t x ttX 1 5 1 1 5Sa e 2 j gt t 12 2 13 利用傅里叶变换的频移特性和已知单位阶跃信号的频谱 求单边余弦信号 0 cos tt 和单边正弦信 号 0 sin tt 的频谱函数 解 由于 2 1 cos 00 0 tjtj etettt 2 1 sin 00 0 tjtj etet j tt d j tF 1 由傅里叶变换的频移特性可得 1 1 2 1 cos 0 0 0 00 d d jj ttF 2 2 0 00 2 d d j 1 1 2 1 sin 0 0 0 00 d d jjj ttF 2 2 0 0 00 2 d d j 2 14 若已知信号 x t的频谱为 X 试求下列信号的频谱 1 2 t x 2 25 xt 3 3 xt 4 33 xt 解 3 3 j YXe 4 1 33 j YXe 解 1 由傅里叶变换的尺度变换性质得 2 2 2 X t xF 2 由傅里叶变换的时移和尺度变换性质得 2 5 2 2 1 52 j eXtxF 3 由傅里叶变换的时移和尺度变换性质得 3 3 j eXtxF 4 由傅里叶变换的时移和尺度变换性质得 j eXtxF 3 3 1 33 2 15 试用下列方法求题 2 15 图示余弦脉冲信号的傅里叶变换 13 1 利用傅里叶变换的定义 2 利用傅里叶变换的微分特性 3 将他看作矩形脉冲函数与周期余弦函数cos 2 t 的乘积 O x t t1 1 1 cos 2 t 题 2 15 图 解 1 定义 2 sin 22 x tt 1 sin 22 t x t 11 22 11 11 sin 224 jtjt j tj t tj Xx t edtedteedt 22 cos 2 j 1 22 cos 2 X X j 2 cos 1 1 1 1 4222 x tttttt dd 3 1 1 2 cos ttttx 方法一 利用频域卷积定理 2 2 sin 2 2 c 1 1 22 cos d 2 4 cos 4 j t Xt et O x t t1 1 2 2 O x t t1 1 2 4 2 2 14 2 22 1 F cosF 22 1 2sinc 222 2cos2cos 22 4 cos 4 Xtg t d d 2 2 sin 2 2 c t 30 20 100102030 0 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 XA t 图 1 方法二 利用频移特性 22 2 2 cos 1 1 2 1 2 2sin jtjt x tttt eeg t g tc 22 sinc sinc 22 4 cos 4 X 方法三 利用时域微性质 1 1 2 cos ttttx sin 1 1 22 x tttt 15 2 2 2 cos 1 1 sin 1 1 4222 cos 1 1 1 1 4222 1 1 422 x ttttttt ttttt x ttt dd dd dd 2 2 2 42 cos 4 jj jXXee X 222 2 cos 4 cos 4 4 X j 2 16 已知F x tX 证明 1 若 x t是关于 t 的实偶函数 则 X 是关于 的实偶函数 2 若 x t是关于 t 的实奇函数 则 X 是关于 的虚奇函数 证明 1 若 tx是关于 t 的实偶函数 即 txtxtx 则 XXX 所以 X是关于 的实偶函数 2 若 tx是关于 t 的实奇函数 即 txtxtx 则 XXX jIRjIRjIR RRR 即0 R II 所以 jIX 即 X是关于 的虚奇函数 2 17 求下列信号的傅里叶逆变换 1 0 d 2 2 2 d d 16 3 1 6 2 3 jj d 4 sin 5 解 1 因为 21 d 2 1 d 2 1 0 0 d tj e 即 tj eF 0 2 1 0 1 d 2 由 1 可得 2 2 1 2 d tj e 2 2 1 2 d tj e 2cos 1 2 1 2 2 22 tee tjtj d d 即 2cos 1 2 2 1 tF d d 3 3 6 d 3 1 2 1 3 2 1 jjjj 2 1 2 te j t 3 1 3 te j t 所以 3 3 2 1 6 321 tete jj F tt d 4 5 5 5 5sin 5 5sin Sa 因为 2 ttt t Satt 所以 5 5 2 1 5sin 1 ttF 2 18 利用拉普拉斯变换的定义求下列信号函数的拉氏变换 1 tt 2 1 tt 3 sin 2 tt 4 2 1 t e 解 1 2 0 0 00 11 s dte s e s t dte tdtettsX stststst 2 dte s e s t dttedtettsX stststst 1 1 10 1 1 11 1111 22 1 2 ss ee s e s e s e s ssssts 3 dtetdtettsX stst 00 2sin 2sin 17 4 2cos 2 2sin 4 2cos 2 2cos 2 1 2sin 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 SX s te s dtte s te s dtte s te s st stst stst 即 4 2 2 s sX 4 dteedteesX tsststt 0 2 0 2 1 2 11 2 11 00 ss e s e s stst 2 19 利用拉普拉斯变换的性质求下列信号函数的拉氏变换 1 2 t tet 2 1 ttt 3 2 t ett 4 cos 2 4 tt 5 21 td 6 sin 2 t ett 7 2 2 sin d tt dt 8 cos ttt 解 1 2 2 2 1 s tteL t 7 2 11 1 1 1 22 ss e s ttttLtttL s 3 2 2 teteLtteL ttt 1 1 s teL t 1 2 2 22 2 2 s ee eteLteL s tt 即 原式 1 1 11 1 1 2 1 2 s e s e s ss 4 2sin 2 cos 2 2 4 sin 2sin 4 cos 2 cos 4 2cos ttttttt 所以 4 2 2 2 2sin 2 cos 2 2 4 2 cos 2 s s ttLttL 5 2 1 2 12 ttdd 所以 2 1 2 1 12 j etL d 18 6 4 1 2 2sin 2 s tteL t 7 22 sin s ttL 22 2 2 2 sin s s tt dt d L 8 1 1 cos 2 2 s s tttL 2 20 写出如题 2 20 图所示各信号的表达式 并求其拉普拉斯变换 O 1 x t t 2 1 2 3 O 1 x t tT O 1 x t t1 sin t a b c 题 2 20 图 解 a 1 10 t 表达式 tx 2 21 t 1 32 a a s X a atx 20 4 4 1 4 42 22 s s sss s 2cos 4 42 2 1 ttt ss s L 5 22 2 1 2 1 1 1 2 1 1 sssss 2 1 1 22 2 1 ttetete ss L ttt 6 4 1 11 52 11 52 5 222 s s sss s ssss s 2cos 52 5 2 1 ttet sss s L t 21 习题 3 3 1 如题 3 1 图所示电路 已知 1 2R 2 4R 1LH 0 5CF 2 t S utet Ve 列出 i t的微分方程 求其零状态响应 S ut 1 R 2 R CL i t 题 3 1 图 解 设通过电容C的电流为 tic 根据 KVL 定律列写回路方程 可得 12 tutitiR dt tdi LtitR sc 2 2 1211 1 2 1 2 tu dt tid CLR dt tdi CRRtiR dt tdi LtiR dt tdi LtiR dt d Ci s c 整理得 2 6 5 2 2 teti dt tdi dt tid te 两边求拉斯变换 在零状态响应下 3 1 2 2 1 1 3 2 1 2 1 2 65 2 ssssss si s siss 求拉斯反变换得 2 32 teeeti ttt e 3 2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下 试求系统的零输入响应 零状态响应和全响 应 1 2 2 43 d y tdy t y tx t dtdt 0 0 1y y x tte 2 2 2 44 3 d y tdy tdx t y tx t dtdtdt 0 1y 0 2 y t x tete 解 1 求零状态响应 tyzi 当激励为零时 0 3 4 2 2 ty dt tdy dt tyd 特征方程 034 2 解特征方程根 3 1 21 则齐次解为 tt zi ececty 3 21 代入初始条件 1 0 0 21 ccyy zi 13 0 0 21 ccyy zi 解得1 2 1 cc 即零输入响应 2 3 teety tt zi e 求零状态响应 tyzs ttxe 设方程的特解 0 ctyp 将其代入微分方程得 3 1 typ 3 1 3 21 tececy tt zs e 代入初始条件 0 3 1 0 0 21 ccyy zs 03 0 0 21 ccyyzs 解得 6 1 2 1 21 cc 零状态响应 6 1 2 1 3 1 3 teey tt zs e 全响应 6 5 2 3 3 1 3 teeyyy tt zizs e 2 求零输入响应 tyzi 当激励为零时 齐次微分方程 0 4 4 2 ty dt tdy dt tyd 特征方程 044 2 解得特征根 2 21 则齐次解 t zi etccty 2 21 代入初始条件 4 2 0 1 0 2 1 cycy 即零输入响应 14 2 tetty t zi e 求零状态响应 tyzs tetx te 设方程的特解 t p ecty 0 代入微分方程得 t p ety 2 tt zs eetccy 2 2 21 代入初始条件 2 02 0 11 ccyzs 1 01 0 22 ccyzs 零状态响应 2 2 2 teety tt zs e 全响应 2 13 2 teetyyy tt zszi e 3 3 已知系统微分方程 2 2 56 2 d y tdy tdx t y tx t dtdtdt 求单位冲激响应 解 2 5621ssY ssX s 1x ttX s 23 35 tt y teete 3 4 已知系统微分方程 2 dy tdx t y tx t dtdt 求冲激响应和阶跃响应 解 对系统两边求拉斯变换得 2 sXssXsYssY 当输入信号为单位冲激信号 ttx 即1 sX 2 3 1 2 1 ss s sY 求拉斯逆变换得系统的单位冲激响应 3 2 tetth te 当输入信号为阶跃信号时 s sXttx 1 e 2 2 3 2 1 2 1 ssss s sY 求拉斯逆变换得系统的阶跃响应 2 3 2 1 2 tety t e 3 5 计算下列函数的卷积 12 x tx t 1 1 x tte 2 2 t x tete 2 1 x ttte 2 2 x tttee 3 2 1 tetx te 2 2 tttxee 4 2 1 2 t x tete 2 3 t x tete 解 1 根据卷积定义 e e dtedtxxtxtx t 2 0 2 0 121 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 teede ttt t t e 2 根据卷积定义 e e e dttdtxxtxtx 2 0 2 0 121 2 21 56 s Y s ss 35 23ss 22 0202 222 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 111 2 2 020222 tttt y tx th t ttd tt d tt dtdtdtdt ttt ttt e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 22 22 222 2 1 4 22 1 4 2 2 2 24 4 2 11 2 2 2 4 22 t t tttttttt tttttttt e eeee eee 2 2 2 1 2 1 2 22 2 0000 tttt dddtdt tt ee e e e e 3 根据卷积定义 e e e dttedtxxtxtx 2 0 2 2 0 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2 422 2 2 00 2 0 2 0 2 tete dede dtedte tt t tt ee e e e e 4 根据卷积定义 e e dteedtxxtxtx t 3 2 0 2 2 0 121 6 6 6 2 0 0 tee tde dte tt t t t e e e e 3 6 已知某 LTI 系统的冲激响应 2 h tttee 求输入为下列函数时的零状态响应 1 2 3 x tttee 2 2 x ttttee 解 解 系统的零状态响应 thtxyzs 1 2 3 2 ttttthtxyzseeee 5 5 4 4 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 tttttttt tttttttt eeee eeeeeeee 2 法一 定义式 法二 利用卷积的移位 积分性质 2 2 2 2 2 2 y tx th t ttttt tttttttttttt eeee eeeeeeee 1 0 2 1 2 tt tttttt ddt tt eee e e e 21 2 22 2 ttttteee 2 2 2 2 1 244 2 1 44 2 ttt tt ttt ee e e 222 11 2 2 2 4 22 y ttttttttteee 3 7 已知当输入 t x tete 时 某 LTI 系统的零状态响应为 23 34 ttt zs yteeete 求 1 系统函数 2 系统的冲激响应 3 描述该系统的微分方程 解 1 1341 1123 X sY s ssss 2 341 28 123 1 56 1 Y ss sss H s X sss s 2 42 23 H s ss tttteee d d d ttt xhxh tx th 1 2 2 2 2 22 1 42 2 tt tttttt ddt tt eee e e e 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2 1 42 2 ttt ttttt tttt tt ee eeee ee e 211221 thtttxtthttxtthttx 1 h tLH s 23 42 tt eete 3 2 28 56 Y ss H s X sss 2 56 28 ssY ssX s 2 2 56 28 d y tdy tdx t y tx t dtdtdt 3 8 已知某 LTI 系统的阶跃响应 2 1 t s tete 欲使系统的零状态响应为 1 22 tteety tt zs e 求系统的输入信号 x t 解 系统的阶跃响应 1 2 tets t e 则求其拉斯变换得 2 11 ss sS 得 2 2 1 s s sS sY 系统的单位冲激响应 2 2 1 s sY sH 当系统的零状态的响应 1 22 tteety tt zs e 则 22 2 4 2 1 2 11 ss s sss sY 得 2 2 11 2 2 4 ssss s sH sY sX 求拉斯逆变换得系统的输入信号 2 1 1 2 tetx t e 3 9 如题 3 9 图所示电路是最平幅度型 巴特沃思 Butterworth 三阶低通滤波器 他接于 电源 含内阻 R 与负载 R 之间 已知 L 1H C 2F R 1 求系统函数 2 1 Us H s U s 及其 阶跃响应 R RC LL 2 u t 1 u t 题 3 9 图 解 设通过电容 C 的电流为 tic 通过负载电阻的电流为 1 ti 根据 KVL KCL 可列方程 2 2 2 2 2 2 3 2 32 1 1 2 2 2 2 2 2 1 tu dt tdu R L dt tud CL dt tud R CL tu dt titid Ltu dt tdu C dt tud R LC dt tdu Cti tu dt du R L tu R tu ti c c cc c c 2 4 4 2 2 22 2 2 2 tu dt tdu dt tud dt tud 两边求拉斯变换得 2 4 4 2 222 2 2 3 1 sUssUsUssUssU 得 122 2 1 23 sss sH 阶跃响应 122 2 11 23 sssss sHsY 对其两边求拉斯逆变换得阶跃响应 2 3 sin 3 2 1 2 1 2 1 tteety t e 3 10 已 知 系 统 函 数 2 2 4 22 Y ss H s X sss 初 始 值 0 1y 0 0y 输 入 2cosx tt 求0t 时的全响应 解 求零输入响应 特征方程 022 2 ss得特征根11 11 21 jsjs 得该方程的齐次解为 tectecy tt zi sincos 21 代入初始条件 0 0 1 0 yy得1 1 21 cc 得 tetety tt zi sincos 求零状态响应 输入信号 ttxcos2 得 1 2 2 s s sX 1 22 4 4 22 sss ss sXsHsY 1 5 28 5 24 1 1 5 32 1 5 24 22 s s s s 求拉斯逆变换得零状态响应 tttetety tt zs sin 5 28 cos 5 24 sin 5 32 cos 5 24 即全响应 tetetttytyty tt zszi sin 5 21 cos 5 19 sin 5 28 cos 5 24 3 11 求下列系统函数的零极点 并定性绘出系统冲激响应的波形 1 2 0 3 H s s 2 2 5 10125 s H s ss 3 2 10 20500 s H s ss 解 1 系统的极点3 0 p 系统的冲激响应 2 3 0 teth te 2 系统的零点5 1 z 极点105 105 21 jpjp 系统的冲激响应teeeeeeth ttjjttjtj 10cos 2 1 2 1 2 1 510105 105 105 3 系统的零点10 1 z 极点2010 2010 21 jpjp 系统的冲激响应teeeth ttjtj 20cos 2 1 10 2010 2010 3 12 已知连续时间系统的单位冲激响应 求系统的系统函数 描述系统的微分方程 并判断 系统是否稳定 1 tetth te 2 1 teth t e 3 tteth te 4 2 2 teeth tt e 解 1 1 s s sH txtyty 系统的极点 p 1 稳定 2 ss sH 2 1 txtyty 系统的极点 p 0 1 不稳定 3 12 1 2 ss sH 2 txtytyty 系统的极点 p1 2 1 稳定 4 23 2 2 ss sH 2 2 3 txtytyty 系统的极点 p 1 2 稳定 3 13 已知连续时间系统的系统函数 求系统的冲激响应 描述系统的微分方程 并判断系统 是否稳定 1 2 1 s sH 2 22 1 2 ss sH 3 22 1 2 ss s sH 4 22 1 2 2 ss s sH 解 1 th 2 te te 2 txtyty 稳定 2 1 1 1 22 1 22 sss sH th sintte t e 2 2 txtytyty 稳定 3 1 1 1 22 1 22 s s ss s sH th costte t e 2 2 txtxtytyty 稳定 4 1 1 12 1 22 1 22 2 s s ss s sH th sincos2 ttetet tt e 2 2 txtxtytyty 稳定 3 14 已知系统微分方程为 2 2 56 1 d y tdy t y tx tx t dtdt 求该系统的频率响应 解 2 56 1 j jjYeX 2 1 56 j Ye H Xj 3 15 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 5 H j 输入信号为 4 t x tete 求系统的零 状态响应 解 输入信号的傅里叶变换 4 1 j X 0 j 0 e t Xttx j d d F X t tx n n n 则 5 1 4 1 5 4 1 jjjj XHY 求傅里叶反变换得零状态响应 54 teey tt zs e 3 16 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 1 j H j 当输入信号为阶跃信号时 求系统的零 状态响应 解 当输入信号为阶跃信号时 1 j X 1 1 1 jj j XHY 系统的零输入响应 21 1 teYFty t zs e 3 17 已知某 LTI 系统的频率响应为 1 1 H j 输入信号为 sinsin3x ttt 试求响应 y t 示意画出 x t与 y t的波形 讨论经传输产生的失真问题 解 3311 jX 3311 1 j j XHY de j j ty tj 3311 12 1 tjtjtjtj e j e j e j e j j 3 3 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 4 1 4 1 1010 22 2 jarctg tj jarctg tj j tj j tj e e e e e e e ej 3333 44 10 1 2 1 2 1 jarctgtjjarctgtj jjtjjt eeee j 333344 2 1 10 1 2 1 2 1 arctgtjarctgtj tjtj ee j ee j 249 13sin 316 0 785 0sin 707 0 3arctan3sin 10 1 4 sin 2 1 ttttty 3sin sin tttx 该系统是一个低通滤波器 从输出信号看 该滤波器不但改变了输入信号中每个频率分 量的幅度 也改变了各频率分量的相位 3 18 已知某 LTI 系统的频率响应为 2 2 j H j 输入信号为 cos 2 x tt 求该系统的 响应 y t 解 输入信号 2cos ttx 进行傅里叶变换得 2 2 X 2 2 2 2 j j XHY 该系统的响应 teeeeYFty tjtj 2sin 2902901 3 19 电路如题 3 19 图所示 求电压 u t对输入电流 i t的频率响应 U H I 为了能 无失真地传输 试确定 R1 R2的值 i t 1 R 2 R 1H1F u t

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