第二章第1讲函数及其表示.DOCVIP

2016高考导航内容要求ABC1函数概念与基本初等函数函数的概念函数的基本性质指数与对数指数函数的图象与性质对数函数的图象与性质幂函数函数与方程函数模型及其应用2导数及其应用导数的概念导数的几何意义导数的运算及其简单的复合函数的导数利用导数研究函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用第1讲函数及其表示1函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据做一做1给出下列五个命题，其中正确命题的序号是_函数是定义域到值域的对应关系；函数f(x)；f(x)5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t21)也等于5；y2x(xN)的图象是一条直线；f(x)1与g(x)x0表示同一个函数解析：由函数的定义知正确；由得定义域为，所以不是函数，故错误；因为函数f(x)5为常数函数，所以f(t21)5，故正确；因为xN，所以函数y2x(xN)的图象是一些离散的点，故错误；由于函数f(x)1的定义域为R，函数g(x)x0的定义域为x|x0，故错误答案：2函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法做一做2已知f(x)x21，g(x)则fg(x)_；gf(x)_.解析：当x0时，g(x)x1，故fg(x)(x1)21x22x；当x0时，g(x)2x，故fg(x)(2x)21x24x3；所以fg(x)当x1或x1时，f(x)0，故gf(x)f(x)1x22；当1x1时，f(x)0，故gf(x)2f(x)3x2.所以gf(x)答案：3映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射做一做3以下给出的对应是从集合A到B的映射的序号为_集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应法则f：数轴上的点与它所代表的实数对应；集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应法则f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应法则f：每一个三角形都对应它的内切圆；集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生解析：由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合A到集合B的映射答案：4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数做一做4若函数f(x)则f(f(10)_.解析：f(10)lg 101，故f(f(10)f(1)1212.答案：2必明辨的2个易错点(1)对相等函数的概念理解不清致误(2)对分段函数意义理解不清致误练一练1已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1a1，没有对a进行分类讨论直接代入求解(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误答案：2以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y；f2：y1.(2)f1：yf2：xx11x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)方法归纳函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)3.已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)的解析式解：因为2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x).2得3f(x)6x，所以f(x)2x(x0)4设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，所以a1，b2，所以f(x)x22xc.又因为方程f(x)0有两个相等实根，所以44c0，c1，故f(x)x22x1.考点三分段函数(1)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.(2)函数f(x)若f(x)4，则x的取值范围是_(3)设函数yf(x)在R上有定义对于给定的正数M，定义函数fM(x)则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2，M1，则fM(0)_.解析(1)由题意知f(1)212.因为f(a)f(1)0，所以f(a)20.当a0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，所以a120，所以a3.(2)当x4，得2x4，即x4得x24，所以x2或x2.综上可得x2.(3)由题设f(x)2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当1xa，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，f(a)a1，则由f(a)a，得a3，所以这样的a不存在当aa得a0，又f(f(x)依据yf(f(x)的大致图象(如图所示)，知存在实数k，使得方程f(f(x)k0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根答案：方法思想分段函数关注三点若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数分段函数只是一个函数，而不是“几个函数”，只是其形式表示不同而已下面结合例题从不同视角谈谈涉及分段函数的若干问题以及求解方法关注一分段函数的解析式此类问题往往给出在某区间上函数的表达式，求另一区间上的函数表达式解题的策略是，要充分挖掘已知条件，利用函数的奇偶性、对称性、单调性，采用范围转化法、相关点法、平移法等方法进行求解问题的解题关键是要对函数解析式进行区间分类解析已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xR，都有f(x2)f(2x)当x0,2时，f(x)3x2，求f(x)在区间4,0上的解析式分析：因函数在4,0上的解析式不同，所以将4,0分成两个区间4，2)和2,0，结合函数的奇偶性，与条件f(x2)f(2x)进行求解解把区间4,0分为两个区间4，2)和2,0设x2,0，则x0,2由已知条件得f(x)3x2，因f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)所以当x2,0时，f(x)3x2.又设x4，2)，则x40,2)，所以f(x4)3(x4)23x14.因为f(x2)f(2x)，所以f2(x2)f2(x2)，可得f(x4)f(x)f(x)，所以当x4，2)时，f(x)3x14.所以f(x)在4,0上的解析式为f(x)感悟提高由f(x2)f(2x)可得函数图象关于直线x2对称，可转化成f(x)f(4x)、f(x)f(4x)等形式，如函数为偶函数，还可得f(x4)f(x)等结论根据解题需要选用相应的形式与结论关注二分段函数的图象此类问题无法直接作出函数图象，需依据x的取值范围进行讨论，从而将抽象的函数转化成具体的分段函数解析式，再根据分段函数解析式作出函数图象画出函数y的图象分析：要去掉绝对值符号，可按1x2和x的零点(x1,0,1)把定义域(，)划分为(，1)，1,0)，0,1，(1，)四部分分别进行化简解当x(，1)时，yx1；当x1,0)时，y1x；当x0,1时，y1x；当x(1，)时，yx1，即y可画出此函数的图象如图感悟提高以零点划分区间，分类讨论，是解此类问题的常用方法画函数图象时，不仅要依据函数的解析式，而且还要考虑它的定义域和值域关注三分段函数的最值此类问题可直接从代数方法即“数”的方面入手，方法直接易懂，体现出“数”的“严谨性”；也可从几何方法即“形”的方面入手，方法直观简捷，体现出“形”的“直观性”设f(x)表示函数y12x24x6和函数y2x6中的较小者，求函数f(x)的最大值法一：分析：通过比较，正确求出f(x)的解析式，再利用函数最值的求法求出f(x)的最大值解由已知条件知f(x)即f(x)当0x时，f(x)6.当x0或x时，f(x)6.所以f(x)max6.感悟提高求分段函数最值时，应先求各段函数的最值，然后进行综合比较，较大者即为最大值法二：分析：利用函数y12x24x6和y2x6的图象特征来解题解在同一平面直角坐标系中作出函数y12x24x6和函数y2x6的图象，比较两个函数图象的上下位置关系，在下方部分即为f(x)的图象(图略)观察图象可知，f(x)图象最高点为(0,6)所以当x0时，f(x)max6.感悟提高本题将两个关于x的代数式的大小问题转化为两个函数的值的大小问题，再进一步转化为利用两个函数图象的分布特征求解整个解法显得简捷，充分体现了数形结合思想中的以形思数的思路1下列四组函数中，表示同一函数的序号是_yx1与y；y与y；y4lg x与y2lg x2；ylg x2与ylg；解析：对于，对应法则不同；对于，定义域不同答案：2下列函数中，与函数y定义域相同的函数序号为_y；y；yxex；y.解析：函数y的定义域为x|x0，中由sin x0xk，kZ，故不相同；中x0，故不相同；中xR，故不相同；中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x0答案：3下列函数中，满足f(2x)2f(x)的序号是_f(x)|x|；f(x)x|x|；f(x)x1；f(x)x.解析：对于，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于，f(x)x|x|当x0时，f(2x)02f(x)，当x0时，f(2x)4x22x2f(x)，恒有f(2x)2f(x)；对于，f(2x)2x12f(x)12f(x)对于，f(2x)2x2(x)2f(x)；故填答案：4已知f(x)则ff_.解析：f，ff1f2，ff3.答案：35现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是_(填序号) 解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快答案：6若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(x)_.解析：由题意知2f(x)f(x)3x1.将中x换为x，则有2f(x)f(x)3x1.2得3f(x)3x3，即f(x)x1.答案：x17已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：68已知函数f(x)若f(f(1)3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，则96a3a2，即a22a30，解得1a2x5.解：(1)设二次函数f(x)ax2bxc(a0)因为f(0)1，所以c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.所以2axab2x.所以a1，b1.所以f(x)x2x1.(2)由x2x12x5，即x23x40，解得x4或x4或x1的这样的函数个数有_个解析：如图，满足条件的函数只有1个 答案：13由等式x3a1x2a2xa3(x1)3b1(x1)2b2(x1)b3，定义一个映射f(a1，a2，a3)(b1，b2，b3)，则f(2,1，1)_.解析：由题意知x32x2x1(x1)3b1(x1)2b2(x1)b3，令x1得1b3；再令x0与x1得解得b11，b20.答案：(1,0，1)4具有性质：f()f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)解析：易知满足条件，不满足；对于，易知f()满足f()f(x)，故满足“倒负”变换答案：5已知函数f(x)(1)求f(1)，fff(2)的值；(2)求f(3x1)；(3)若f(a)， 求a.解：f(x)为分段函数，应分段求解(1)因为11(1)1，即x，f(3x1)1；若13x11，即0x，f(3x1)(3x1)219x26x2；若3x11，即x1或