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文档简介

启东市汇龙中学校本课程 高中数学活动室活动一 翻滚的数学函数问题主备人： 李俭昌 一 问题的提出地面hDCBA一个矩形ABCD所在的平面与地面垂直，点A在地面上，AB=a，BC=b，AB与地面成角，如图所示，若记点C到地面的距离为h，试用的函数表示h，并且求出h的最大值。（必修4，P112）分析：要将h表示为的函数，关键在于考察h与、边长a，b的关系。解：如图过B作地面的垂线，交地面于E，过B作地面的平行线BF，与过C作地面的垂线CF交于F。则BE=，又因为，所以，所以。又因为FE地面hDCBA记，则，又因为所以所以h的最大值为。二 知识准备1.函数的概念，函数的定义域与值域的相关知识；2.平面直角坐标系的建立，如何选择适当的元素作为直角坐标系的x，y轴，建立适当的坐标系解决问题；3.图形翻滚过程中的变量与不变量的确定；4.在运动过程中的参数的选择。三 学生活动OCBAyx图3活动1.在平面直角坐标系中，已知一个直角三角形ABC的三边长分别为3,4,5（C为直角顶点，BC=3，AC=4），把这个直角三角形放在直角坐标系中，如图3所示，现在将这个三角形逆时针翻滚（无滑动），画出翻滚一周点C所在轨迹的曲线的图形。解：图形在第一次翻滚过程中，点C是在以A为圆心，AC为半径的一个圆上，如图4所示，OCBAyx图5OCBAyx图4由三角形中的知识可知，所以第一次翻滚过程中，点C运动的轨迹为一段圆弧，如此继续下去，得到的圆弧的如下如下。OCBAyx图6OCBAy图7OCBAy图8最后曲线的运动轨迹如图8所示。活动2.一个半径为5的圆，如图9所示放在直角坐标系中，圆以的速度逆时针方向旋转（无滑动）开始时点P在坐标原点，求t秒时点P的坐标。COPy图9解：圆以每秒2的速度逆时针方向滚动，则t秒时半径CP旋转的角度为2t弧度，如图10所示。即过P作x轴的垂线PM交x轴于M，设P点的坐标为（x,y）,由题意可知弧的长度等于，xMCOCy图10而弧，所以，所以，四 课后研究与探索 B地面DCA探索1.在问题的提出中，若长方形在地面上翻滚，试画出长方形翻滚一周的过程中，点C的运动的轨迹。长方形在翻滚过程中，分别以A/B.C D/A为圆心旋转得到的圆弧，其轨迹如图所示。BDCA图11地面探索2某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M、N，切曲线于点P，设 ( I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)； (II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值解：（），直线的斜
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