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4 2 3直线与圆的方程的应用 问题提出 通过直线与圆的方程 可以确定直线与圆 圆和圆的位置关系 对于生产 生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题 我们可以建立直角坐标系 通过直线与圆的方程 将其转化为代数问题来解决 对此 我们必须掌握解决问题的基本思想和方法 直线与圆的方程的应用 知识探究 直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 思考1 解决这个问题的本质是什么 思考2 你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域 思考3 如图所示建立直角坐标系 取10km为长度单位 那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么 思考4 直线4x 7y 28 0与圆x2 y2 9的位置关系如何 对问题 应作怎样的回答 问题 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图 这个圆的圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑 求支柱a2p2的高度 精确到0 01m 思考1 你能用几何法求支柱a2p2的高度吗 思考2 如图所示建立直角坐标系 那么求支柱a2p2的高度 化归为求一个什么问题 思考4 利用这个圆的方程可求得点p2的纵坐标是多少 问题 的答案如何 思考3 取1m为长度单位 如何求圆拱所在圆的方程 x2 y 10 5 2 14 52 知识探究 直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 求证 圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 思考1 许多平面几何问题常利用 坐标法 来解决 首先要做的工作是建立适当的直角坐标系 在本题中应如何选取坐标系 思考2 如图所示建立直角坐标系 设四边形的四个顶点分别为点a a 0 b 0 b c c 0 d 0 d 那么bc边的长为多少 思考3 四边形abcd的外接圆圆心m的坐标如何 思考4 如何计算圆心m到直线ad的距离 mn 思考5 由上述计算可得 bc 2 mn 从而命题成立 你能用平面几何知识证明这个命题吗 理论迁移 例1如图 在rt aob中 oa 4 ob 3 aob 90 点p是 aob内切圆上任意一点 求点p到顶点a o b的距离的平方和的最大值和最小值 例2如图 圆o1和圆o2的半径都等于1 圆心距为4 过动点p分别作圆o1和圆o2的切线 切点为m n 且使得 pm
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