2019-2020学年湖南师范大学附中高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南师范大学附中高一上学期期末数学试题一、单选题1设集合,则( )ABCD【答案】B【解析】利用对数函数的性质以及指数函数的单调性求出集合A、B，然后再利用集合的交补运算即可求解.【详解】由题知,从而得到.故选：B.【点睛】本题考查了集合的交补运算，同时考查了对数型函数的定义域以及利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A1B2C4D1或4【答案】C【解析】因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的半径为：4r=2，解得：r=1，则扇形的圆心角的弧度数为=4故选C3已知中,则( )ABCD【答案】B【解析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角，属于基础题.4在平面直角坐标系中,角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有一点,若,则( )ABCD【答案】B【解析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义得,解得,从而.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题的关键是确定终边所在的象限，属于基础题.5要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】C【解析】利用三角函数图像的平移变换即可求解.【详解】函数,其图象可由的图象左移个单位长度而得.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，平移的法则是相对于平移且“左加右减”的原则，属于基础题.6已知函数,则( )ABCD【答案】B【解析】利用分段函数求值先求出，进而求的值即可.【详解】根据分段函数可得,则.故选：B.【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.7已知向量满足,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于( )ABCD【答案】A【解析】利用向量数量积的几何意义可得，进而求出向量的夹角，再利用向量数量积求出向量的模即可.【详解】设两个向量的夹角为,则,从而,所以.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量的模，属于基础题.8三个数,的大小关系为( )ABCD【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值“”、 “”即可比较出大小.【详解】由,得.故选：D.【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，属于基础题.9函数(且)的图象可能是( )ABCD【答案】D【解析】利用函数的奇偶性以及函数值依次排除即可得出选项.【详解】因为是奇函数,所以(且)是奇函数,因此B,C不正确,又因为()时函数值为正,所以A不正确.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，同时考查了排除法在选择题中的应用，属于基础题.10已知、为锐角，则( )ABCD【答案】A【解析】为锐角 .故选A.11函数的零点个数为( )ABCD【答案】C【解析】将函数零点个数转化为函数图像的交点个数，作出函数和的图象,观察函数图像的交点个数即可求解.【详解】由,得,作出函数和的图象,可知两图象有个交点,所以函数有个零点.故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点个数，同时考查了指数函数、对数函数的图像，考查了数形结合的思想，属于基础题.12在内使的值最小的点是的( )A外心B内心C垂心D重心【答案】D【解析】令,设,则,于是，整理化简当时取得最小值，进而可得，即可得出选项.【详解】令,设,则,于是.所以当时,最小,此时,则点为的重心. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何运算以及三角形重心的向量表示，属于基础题.二、填空题13计算_.【答案】【解析】利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，需熟记性质，属于基础题.14化简:_.【答案】【解析】利用三角函数的诱导公式即可求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.15如图,在平行四边形中,与相交于点,若,则实数_.【答案】【解析】取,为平行四边形所在平面的一组基向量,根据向量共线以及平面向量的基本定理可得，从而可得且可解得.【详解】取,为平行四边形所在平面的一组基向量,由题知.又三点共线,可设,则.所以且,解得.故答案为：【点睛】本题考查平面向量的基本定理以及向量共线定理的应用，属于中档题.16已知函数在区间上是增函数,且.若,且,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】利用赋值法求出，且，然后利用函数的单调性即可解不等式.【详解】在中,令,得,所以.令,得,再令,得.又因为,所以可化为,即,所以,解得.故答案为：【点睛】本题考查了抽象函数的单调性解不等式，注意在解不等式时需在定义域内求解，属于基础题.三、解答题17已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】（）；（）【解析】【详解】解：（）由sin2cos=0，得tan=2tanx=；（）=（）+1=18已知函数.(1)求的最大值和最小值;(2)设,求的对称中心及单调递增区间.【答案】(1);(2)对称中心是.单调递增区间是.【解析】（1）利用二倍角公式将函数化为，令,配方即可求解.（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.【详解】解:(1)由题意得,令,则,则.所以当时,有;当时,.(2)由题得,从而.由,得.故对称中心是.再由,得.所以单调递增区间是.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.19已知,.(1)当为何值时,与垂直;(2)若,且三点共线,求的值.【答案】(1)(2).【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示即可求解.（2）根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】解:(1),由与垂直,得,所以.(2)由题得,.因为三点共线,所以共线,从而,解得.【点睛】本题考查了向量垂直、平行的坐标表示，熟记坐标的关系是关键，属于基础题.20设函数,且是奇函数.(1)求的值;(2)判断函数在上的单调性并用定义证明.【答案】(1).(2)在上单调递增.见解析【解析】（1）由题意可得，代入求解即可.（2）利用函数单调性定义即可证出.【详解】解:(1)由已知得的定义域是,且,即,解得.(2)由(1)知,所以在上单调递增.用定义证明如下:在上任取两个数,并设,则,又,.函数在上单调递增.【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义、函数单调性定义，在利用函数单调性定义证明单调性的步骤：“取值、作差、变形、定号”，属于基础题.21某市物价局调查了某种商品年每个月的批发价格,调查发现,该商品的批发价格在元的基础上按月份随正弦曲线波动,且月份的批发价格最高为元,月份的批发价格最低为元.已知该商品每件的销售价格关于月份的函数解析式是.(1)求该商品批发价格关于月份的函数解析式;(2)假设某超市每月初都购进这种商品,且当月售完,求该超市在年哪些月份销售该商品是盈利的?说明你的理由.【答案】(1),(,且).(2)该超市在年月,月,月,月,月,月是盈利的.见解析【解析】（1）由题意设,根据已知求出，利用周期求出，利用特殊点求出即可.（2）根据（1），可得，再利用三角函数的性质解不等式即可求解.【详解】解:(1)设,由已知得,.又周期,则,从而.因为,则,即,取.故该商品的批发价格的函数解析式为,(,且).(2)设该超市第月购进这种商品所获利润为元,则 .由,得,即.所以.即.因为且,则.故该超市在年月,月,月,月,月,月是盈利的.【点睛】本题考查了三角函数模型在生活中的应用，考查了诱导公式、辅助角公式以及解三角不等式，属于基础题.22已知，.（1）求的解析式；（2）求的值域；（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）令，则x=2t，故从而得出f（x）的解析式；（2）设，下面对a进行分类讨论：当a=0时，当a0时，当a0时，分别求出其值域即可；（3）函数对任意x1，x2-1，1，等价于h（x）在-1，1内满足其最大值与最小值的差小于等于即可.试题解析：设，则.； 设，