反面出击快速解题—浅谈用反证法.doc

反面出击，快速解题浅谈用反证法解题华耀勇摘要: 反证法是一种重要的数学思维方法和数学解题方法。它与一般的证题方法不同，采用的是逆向思维方式，是一种间接的证明方法。主要分为三个步骤：反设、归谬、结论。适合用反证法证明的题型很多，如：“否定性命题”、“唯一性命题”、“存在性与探索性命题”等等，恰到好处的利用反证法去解决问题，会达到事半功倍的效果。关键词：反证法 命题 步骤 分类 我们在解决数学问题时，一般总是先从正面入手，按照常规的思维途径去进行思考，这就是所谓的正向思维。但当遇到从正面入手较繁较难，或出现一些逻辑上的困境，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维，从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题，用反证法解决问题。反证法在初中的数学学习中虽不常用，但它特有的论证方式可以为我们解决许多通常从正面入手非常棘手的问题，更重要的是这种证法，证明过程简捷明快，因而熟练掌握和运用反证法，对于提高逆向逻辑思维能力和解决实际问题的能力，有着十分重要的意义。 一、什么是反证法反证法又叫归谬法，它是利用矛盾律和排中律，从要证明的结论的否定面出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命题成立，这种证题方法就叫反证法。二、反证法的一般步骤1. 反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；2. 归谬：将“反设”作条件，根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设；3. 结论：肯定原命题的结论是正确的。因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。三、宜用反证法证明的题型什么样的数学命题适合用反证法证明呢？这是个很难确切回答的问题，因为数学问题是多种多样、千变万化的。当一个命题的结论难以直接证明时，可考虑用反证法。对此，我们只能根据在证题实践中的经验积累，粗略地进行归类探讨。1、结论为“否定性”的命题例1如图一，在ABC中，D、E分别为AC、AB上的两点，BD、CE交于点O求证： BD、CE不能互相平分证明：（反设） 假设BD、CE能互相平分（归谬） 在BOE与DOC中， BODO 12 OEOCBOEDOC（SAS）34BECD这与BE、CD相交于点A相矛盾（结论） 所以BD、CE不能互相平分2、结论为“惟一性”的命题例2求证：一元一次方程只有一个根。分析：此题目文字叙述题，因此须先将文字语言转化为数学语言，再进行证明。已知：一元一次方程axb0 （a0）.求证：方程axb0 （a0）只有一个根.证明：（反设） 假设此方程不只有一个根，不妨设有两个根x1,x2,且x1x2. （归谬） 则: ax1b0，ax2b0 a（x1x2）0 a0 x1x20 x1x2这与假设x1x2矛盾 假设方程不只有一个根是错误的.（结论） 所以一元一次方程只有一个根.3、结论为“至多”、“至少” 或“不大于”等形式陈述的命题例3证明：在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45.已知：在RtABC中，A90.求证：在RtABC中，至少有一个锐角不大于45.证明：（反设） 假设B45且C45 （归谬） 则：BC90 即：ABC180 这与三角形内角和等于180矛盾. 故假设不成立. （结论）所以，在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45.4、结论为“肯定性”的命题例4证明：等腰三角形的底角必定是锐角。已知：在ABC中，ABAC，求证：A、B为锐角。证明：（反设） 假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：（1）两个底角都是直角；（2）两个底角都是钝角.（归谬） 情形（1）两个底角都是直角即：AB90则：ABC9090C180这与三角形内角和定理矛盾.AB90这个假设不成立.情形（2）两个底角都是钝角即：90B180，90C 180，则ABC180这与三角形内角和定理矛盾. 两个底角都是钝角这个假设也不成立.故原命题正确。（结论） 等腰三角形的底角必定是锐角.分析：本例中“是锐角（小于90）”的反面有“是直角（等于90）”和“是钝角（大于90）”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不成立，最后才能肯定命题的结论一定正确。5、结论为证明几何量之间关系的命题例5. 如图二，在梯形ABCD中，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，连续EF.求证：EFAB证明：（反设）假设EF与AB不平行.（归谬）作EGAB交BC于点G (如图所示)则 E为AD的中点 CGBG 即G是BC的中点 一条线段只有一个中点， F不是BC的中点，这与已知条件矛盾 因此假设EF与AB不平行是错误的.（结论） EFAB四、用反证法证题时应注意的事项1. 周密考察原命题结论的否定事项；2. 反设要十分准确，防止否定不当或有所遗漏；3. 推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性。 常用反证法求证的命题形式还有许多，例如：某些定理的逆命题；整除性问题；一些不等量命题的证明；有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；存在性与探索性命题；涉及各种“无限”结论的命题等等。鉴于初中阶段课标对掌握反证法的要求不高，这里主要总结了五类较为典型的命题形式，对于这几类命题，反证法一般较为有效。牛顿曾经说过：“反证法是