2016年高考全国1卷理科数学试题及答案(word精校解析版)(1).doc

2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 .2、选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效 .3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .4、选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 . 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 .第卷一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合2 4 3 0A x x x ， x 2x 3 0 ,则 A B（A）3,32（B）3,32（C）1,32（D）32,32. 设 (1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 23. 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27， a10 8 ，则 a100（A）100 （B）99 （C）98 （D）974. 某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A）1 13 （B）2 （C）2 33 （D）45. 已知方程2 2x y2 2 1m n 3m n表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是（A） 1,3 （B） 1, 3 （C） 0,3 （D） 0, 36. 如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是283,则它的表面积是（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 287. 函数2 xy 2x e 在 2,2 的图像大致为y y1（A） （B）1x x2 O 2 2 O 2y y1 1x（C） （D）2 O 22 O 2x8. 若 a b 1，0 c 1,则（A）c ca b （ B）c cab ba （C） a logb c b log a c （D） log a c logb c9. 执行右面的程序框图 ,如果输入的 x 0，y 1，n 1,则输出x,y 的值满足（A） y 2x （ B） y 3x （C） y 4x （D） y 5x开始10. 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点， 交 C 的准线输入x,y,n 于 D、E 两点 .已知 |AB |= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为n=n+1x=x+n-1 2，y=ny(A)2 (B)4 (C)6 (D)811. 平面 过正方体 ABCD -A1B1C1D1 的顶点 A, /平面 CB1D1,否x 2+y236？2+y236？是I 平面 ABCD =m, I 平面 AB B1A1=n ,则 m、n 所成角的正弦输出x,y值为结束(A)32(B)22(C)33(D)1312. 已知函数 f (x) sin( x+ )( 0， ), x 为 f (x) 的零点 ,2 4x 为 y f ( x) 图像4的对称轴，且 f (x) 在5， 单调，则 的最大值为18 36（A）11 （B）9 （C）7 （D）5二、填空题：本大题共3 小题 ,每小题 5 分13. 设向量a=( m,1)，b=(1,2)，且 |a+ b|2=|a |2+| b|2，则 m= 14.53 的系数是 （用数字填写答案）(2x x) 的展开式中， x15. 设等比数列an 满足a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 a n 的最大值为 16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料 生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元三 .解答题：解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤.17. （本小题满分为 12 分）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 2cos C(a cos B+b cos A) c.（ I）求 C；（ II ）若 c 7 ， ABC 的面积为3 32，求 ABC 的周长18. （本小题满分为 12 分）如图，在以A，B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF =2 FD ， AFD 90 ，且二面角 D -AF -E 与二面角 C-BE-F 都是 60 （ I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ； DC（ II ）求二面角 E-BC- A 的余弦值F19. （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰 .机器有一易损零件,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件 ,每个 200 元.在机器使用期间 ,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 ,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图：频数40200 8 9 10 11更换的易损零件数以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率 ,记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数 , n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 .（I）求 X 的分布列；（II ）若要求 P( X n) 0.5,确定 n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 ,在n 19与 n 20之中选其一 ,应选用哪个？20. （本小题满分 12 分）设圆2 2 2 15 0x y x 的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M ,N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .21. （本小题满分 12 分）已知函数2xf x x 2 e a x 1 有两个零点 .(I) 求 a 的取值范围； (II) 设 x1,x2 是 f x 的两个零点 ,证明： x1 x2 2 .请考生在 22、23、24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 .22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， OAB 是等腰三角形， AOB =120.以 O 为圆心，12OA 为半径作圆 .(I) 证明：直线 AB 与O 相切；(II) 点 C，D 在O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： ABCD.D COA B23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C1 的参数方程为x a costy 1 a sin t（t 为参数， a0）在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：= 4 cos .（I）说明 C1是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线 C3 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3上，求 a24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 f x x 1 2x 3 .（I）画出 y f x 的图像；（II ）求不等式 f x 1的解集2016 年高考全国 1 卷理科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B C B A A D C C B A B25.2A x x 4x 3 0 x 1 x 3 ，3B x 2x 3 0 x x 2故3A B x x 3 2故选 D26. 由 1 i x 1 yi 可知： x xi 1 yi ，故x 1x y，解得：xy11所以，2 2 2x yi x y 故选 B27. 由等差数列性质可知：9 a a 9 2a1 9 5S a ，故 a5 3，9 279 52 2而 a10 8 ，因此公差da a 10 5 110 5 a100 a10 90d 98 故选 C28. 如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟根据几何概型，所求概率 10 10 1P 40 2故选 B29.2 2x y2 2 1表示双曲线，则m n 3m n2 3 2 0m n m n2 3 2m n m由双曲线性质知：2 2 3 2 4 2c m n m n m ，其中 c 是半焦距焦距 2c 2 2 m 4，解得 m 1 1 n 3故选 A30. 原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和7 12 2S= 4 2 +3 2 =17 8 4故选 A31.2 2f 2 8 e 8 2.8 0 ，排除 A2 2f 2 8 e 8 2.7 1，排除 Bx 0 时，2 x xf x 2x e f x 4x e ，当1x 0, 时，410f x 4 e 0 4因此 f x 在140,单调递减，排除 C故选 D32. 对 A：由于 0 c 1，函数c c cy x 在 R 上单调递增，因此 a b 1 a b ，A 错误对 B：由于 1 c 1 0 ，函数c 1y x 在 1, 上单调递减，c 1 c 1 c ca b 1 a b ba ab ，B 错误对 C：要比较 a log c和 blog c，只需比较b aaln cln b和 lnb cln a，只需比较 ln cbln b和 ln caln a，只需 bln b和aln a构造函数 f x x ln x x 1 ，则f x ln x 1 1 0 ， f x 在 1, 上单调递增，因此 0 ln ln 0 1 1f a f b a a b baln a bln b又由 0 c 1得 ln c 0 ，ln c ln caln a bln bb log c a log ca b，C 正确ln对D： 要比较loga c和 logb c ，只需比较lnca和lnlncb而函数 y ln x 在 1, 上单调递增，故a b 1 ln a ln b 01 1ln a ln b又由 0 c 1得 ln c 0 ，ln c ln cln a ln blog c log ca b，D错误故选C33. 如下表：循环节运行次数n 1x x x y y ny2判断2 2 36x y是否输出n n n 1运行前 0 1 / / 1第一次 0 1 否 否 2第二次 122 否 否 3第三次326 是 是输出3x ， y 6 ，满足y 4x2故选C34. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为2y 2 px p 0 ，设圆的方程为2 2 2x y r ，题目条件翻译如图：p设 A x0 ,2 2 ， D , 5 ，2点A x0 ,2 2 在抛物线2y px 上， 8 2 px0 2p点 D , 5 在圆22 2 2x y r 上，5p222r 点2 2 2A x0 ,2 2 在圆x y r 上，2 2x0 8 r 联立解得： p 4 ，焦点到准线的距离为 p 4 故选BD CBA35. 如图所示：平面 ，若设平面CB D1 1CB D 平面1 1ABCD m ，1D 1C1则mm1A1B1又平面 ABCD平面A BC D ，结合平面1 1 1 1B D C 平面1 1A BC D B D1 1 1 1 1 1 B1D1m1 ，故 B1D1m同理可得：CD n1故 m 、 n 的所成角的大小与B D 、 CD1 所成角的大小相等，即 CD1B1 的大小1 1而BC B D CD （均为面对交线），因此1 1 1 1CD B ，即1 1 3sin3CD B 1 12故选A36. 由题意知：4+ k 1 + k +24 2则 2k 1，其中 k Zf (x) 在 5 ,18 36单调，5 T36 18 12 2, 12接下来用排除法若11, f (x) sin 11x ， f (x) 在，此时4 4 3,18 44递增，在3 5,44 36递减，不满足 f ( x) 在 5,18 36单调若9, f (x) sin 9x ，满足 f (x) 在，此时4 4 5 ,18 36单调递减故选B37. -2 14.10 15 64 16 21600038. 由已知得： a b m 1,32 2 2 2 2 2 2 2 2a b a b m 1 3 m 1 1 2 ，解得 m 2 14 设展开式的第 k 1项为T ， k 0,1,2,3,4,5k 1kk55 k 5 2k k kT 1 C5 2x x C5 2 x kk当 5 32时， k 4 ，即454 5 4 2 3T5 C5 2 x 10x故答案为 1015. 由于 an 是等比数列，设n 1a a q ，其中 a1 是首项， q 是公比n 12a a 10 a a q 101 3 1 13a a 5 a q a q 52 4 1 1，解得：a1 812q故n 41a ，n2a a . a1 2 n21 1 7 493 2 . n 4 n n 7 n1 1 12 2 2 42 2 2当 n 3或 4 时，21 7 49n 取到最小值 6，此时2 2 412 21 7 49 n2 2 4取到最大值62 所以a1 a2 . an 的最大值为 6416 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为目标函数 z 2100 x 900 y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在 (60,100) 处取得最大值， z 2100 60 900 100 21600039. 解： 2cos C a cos B b cos A c由正弦定理得： 2cos C sin A cos B sin B cos A sin C2cos C sin A B sin C A B C ， A、B 、C 0，sin A B sin C 02cosC 1，cosC12C 0 ， C3 由余弦定理得：2 2 2 2 cosc a b ab C 2 2 17 a b 2ab 22a b 3ab 7 1 3 3 3S ab sin C ab2 4 2ab 62 a b 18 7a b 5ABC 周长为 a b c 5 718解： (1) ABEF 为正方形 A F E F AFD 90 AF DF DF EF =F AF 面 EFDCAF 面 ABEF平面 ABEF 平面 EFDC 由知DFE CEF 60 AB EFAB 平面 EFDCEF 平面 EFDC AB平面 ABCDAB 平面 ABCD面 ABCD 面 EFDC CD AB CDCD EF四边形 EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设 FD aE 0 ，0，0 B 0，2a ，0a 3C ，0 ， a A 2a ， 2a ， 02 2EB 0，2a ，0 ，a 3BC ， 2a ， a ， AB 2a ，0 ，0 2 2设面 BEC法向量为 m x ，y ，z .m EBm BC00，即2a y 01a 3x 2ay a z 01 1 12 2x1 3， y1 0， z1 1m 3 ，0， 1设面 ABC法向量为n x ，y ，z2 2 2n BC =0n AB 0.即a 3x 2ay az 02 2 22 22ax 02x2 0， y2 3， z2 4n 0 ， 3 ，4设二面角 E BC A的大小为 .cosm nm n4 2 193 1 3 16 19二面角 E BC A的余弦值为2 191919 解： 每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11记事件A 为第一台机器 3 年内换掉 i 7个零件 i 1,2,3,4i记事件B 为第二台机器 3 年内换掉 i 7个零件 i 1,2,3,4i由题知 P A1 P A3 P A4 P B1 P B3 P B4 0.2， P A2 P B2 0.4设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ，则 X 的可能的取值为 16，17，18，19，20，21，22P X 16 P A P B 0.2 0.2 0.041 1P X 17 P A P B P A P B 0.2 0.4 0.4 0.2 0.161 2 2 1P X 18 P A P B P A P B P A P B 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.241 3 2 2 3 1P X 19 P A P B P A P B P A P B P A P B 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.21 4 2 3 3 2 4 140. 0.4 0.24P X 20 P A P B P A P B P A P B 0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.22 4 3 3 4 2P x 21 P A P B P A P B 0.2 0.2 0.2 0.2 0.083 4 4 3P x 22 P A P B 0.2 0.2 0.044 4X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 要令 P x n 0.5， 0.04 0.16 0.24 0.5， 0.04 0.16 0.24 0.24 0.5则 n 的最小值为 19 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 n 19时，费用的期望为 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 4040当 n 20时，费用的期望为 20 200 500 0.08 1000 0.04 4080所以应选用 n 1916. (1)圆 A 整理为2 2x 1 y 16 ，A 坐标1,0 ，如图，4BEAC ，则 C EBD ，由 AC AD ,则 D C ，32CEBD D，则 EB ED1AxAE EB AE ED AD 44 2 2 4BE1所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为2 2x y4 31，( y 0 )；D2342 2x yC1 : 1 ；设l : x my 1，4 3P43因为 PQl ，设PQ : y m x 1 ，联立l与椭圆 C121NAxx my 14 2 2 4B1x y 得2 214 32 23m 4 y 6my 9 0；M234Q则2 2| MN | 1 m | y y | 1 mM N2 2 236m 36 3m 4 12 m 12 23m 4 3m 4；圆心A到 PQ 距离d| m 1 1 | | 2m |2 21 m 1 m，所以2 2| PQ | 2 | AQ | d 2 162 24m 4 3m 42 21 m 1 m，2 2 212 1m m m1 1 4 3 4 24 1 1S | MN | | PQ | 24 12,8 3MPNQ 2 2 212 2 3 4 1 3 4 3m m m2m 1x x41. （） f ( x) (x 1)e 2a( x 1) (x 1)(e 2a) x（i）设 a 0 ，则 f (x) (x 2)e ， f (x) 只有一个零点（ii）设 a 0，则当 x ( ,1)时， f (x ) 0；当 x (1, ) 时，f (x) 0 所以 f ( x) 在 ( ,1)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增a又 f (1) e， f (2) a，取 b满足 b 0 且b ln ，则2a 2 2 3f (b) (b 2) a(b 1) a(b b) 0 ，2 2故 f (x) 存在两个零点（iii）设 a 0 ，由 f (x) 0 得 x 1或 x ln( 2a) 若ea ，则ln( 2a) 1，故当 x (1, ) 时， f ( x) 0，因此 f (x) 在(1, ) 上单调递增 又2当 x 1时， f (x) 0，所以 f ( x) 不存在两个零点若ea ，则 ln( 2a) 1，故当 x (1,ln( 2a) 时， f (x ) 0 ；当 x (ln( 2 a), ) 时，2f ( x) 0 因此 f (x) 在 (1,ln( 2a) 单调递减，在 (ln( 2a ), ) 单调递增又当 x 1时，f (x) 0，所以 f (x) 不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0, )（ ）不妨设 x1 x2 ，由（） 知 x1 ( ,1) ，x2 (1, )，2 x2 ( ,1)， f (x) 在 ( ,1) 上单调递减，所以x1 x2 2等价于 f (x1) f (2 x2) ，即 f