第26章二次函数学案（16版）.doc

26.1.1二次函数 姓名：一、复习旧知识：1.正比例函数的解析式是 ，其图象是经过 的 2. 一次函数的解析式是 ，其图象是不经过 的 3. 反比例函数的解析式是 ，其图象是 二、问题情景：1.正方形边长为x cm，它的面积y是多少cm2？ 2矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将长与宽都增加x厘米，设新矩形的面积为y平方厘米，试写出y与x的关系式 3我们发现，当x确定后，面积y也就随之确定，y是x的函数三、二次函数的定义：形如yax2bxc （a、b、c是常数，a0）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项。四、实践与探索：例1：函数y(m2)x2mx3（m为常数） （1）当m _时，该函数为二次函数； （2）当m _时，该函数为一次函数例2：填表abcy3x22xy3x2+1yx (x5)2例3：正方形的边长是5，若各边长都增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式五、练习:1.下列函数中，（ ）是二次函数。Ay=6x21 By=6x1 Cy=1 Dy=12.下列不是二次函数的是（ ）Ay=3x24 By=x2 Cy= Dy=（x1）（x2）3. 已知函数 y(m2)是二次函数，则 m 等于（ ）A、2B、2C、2D、4.在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s5t22t，则当t4秒时，该物体所经过的路程为（ ）A28米B48米C68米D88米5.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm设这个直角三角形的面积为S cm2，其中一条直角边长为x cm，求S关于x的函数关系式6为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围六、二次函数的一些预备知识：1.因为x2 0 ，所以对于二次函数（1）yx2 当x=0时，y有最 值是 .（2）y-x2 当x=0时，y有最 值是 .（3）yx2 +2 当x=0时，y有最 值是 .（4）y-x2-2 当x=0时，y有最 值是 .（5）y（x-3）2 +2 当x= 时，y有最 值是 .（6）y-（x+3）2 -2 当x= 时，y有最 值是 .2.已知二次函数y=ax2的图象经过点（1，3）（1）求a的值；（2）当x4时，求y的值；（3）这个函数的图象是否经过点（1，3）3已知二次函数yx2bx3当x2时，y3，求这个二次函数解析式26.1.2 二次函数yax2的图象与性质一、情境导入画函数的图象的步骤是（1） （2） （3） 二、实践与探索例1、画二次函数yx2与yx2的图象解：列表x21012yx2x21012yx2这两个函数的图象都是抛物线。共同点：都以y轴为对称轴。顶点都在坐标原点不同点：yx2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升yx2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降三、二次函数yax2的图象与性质：二次函数 yax2 的图象是一条 ，它的对称轴是 它的顶点是 1、当a0时，抛物线yax2开口 当x0时，图象在对称轴 侧,函数值y随x的增大而 ；当x0时，图象在对称轴 侧,函数值y随x的增大而 顶点是抛物线上位置最低的点当x0时， yax2 取得最小值，最小值y02、当a0时，抛物线yax2开口 当x0时，图象在对称轴 侧,函数值y随x的增大而 ；当x0时，图象在对称轴 侧,函数值y随x的增大而 顶点是抛物线上位置最高的点当x0时， yax2 取得最大值，最大值y0四、练习：1、函数y=mx2的图象如图所示，则m 0。在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 ，顶点坐标是 ，函数有最 点，最 值是 。2、函数y=2 x2：(1)当x=3时，y= ； (2)当y=8时，x= 。(3)这个图象叫做 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；3、抛物线yx2的开口向_，除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的_方，它的顶点是图象的最_点当x= 时，y有最 值，是 4、若点A（3，m）是抛物线y=x2上一点，则m= 5、函数y=x2的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则a的值是 6、写出一个开口向上，且经过点(1，3)的抛物线的解析式 7、画抛物线yx2和yx2的图象，说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值26.1.3二次函数+k的图象与性质 姓名：二次函数c的图象与性质一、问题思考：1、抛物线yx2的顶点坐标是 2、抛物线yx2+1的顶点坐标是 ；抛物线yx2-1的顶点坐标是 二、实践与探索例1在同一直角坐标系中，画出函数yx2与yx2+1、yx2-1的图象xyx2xyx2+1xyx2-1如图所示，可以看出：1、抛物线yx2+1是由抛物线yx2向 平移 个单位得到的2、抛物线yx2-1是由抛物线yx2向 平移 个单位得到的3、抛物线yx2+1也可以看作是由抛物线yx2 -1向 平移 个单位得到的例2（1）抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（2）抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；（3）画出函数y-x2与y- x2+1、y- x2-1的草图。三、归纳总结：二次函数（是常数，0）图象及性质：1、开口方向顶点坐标对称轴2、当a0时，在对称轴的左侧（即x0），y随x的增大而 ；y有最 值是 。当a0时，在对称轴的左侧（即x0），y随x的增大而 ；y有最 值是 。 3、把抛物线yx2向上平移k（k0）个单位，就得到抛物线_； 把抛物线yx2向下平移k（k0）个单位，就得到抛物线_四. 反馈练习：1抛物线的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 2函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小当x 时，函数取得最 值，最 值y= 3抛物线y2x2向上平移3个单位，就得到抛物线_；4抛物线y2x2向下平移4个单位，就得到抛物线_5将二次函数y5x23向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_6.若的图象经过点（-2，10），则= 这个函数有最 值，是 7抛物线yx24与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标为_ _8. 一个二次函数顶点在y轴且过点（1,2），则这个二次函数可以是 9.（2012广州市）将二次函数y=x2的图像向下平移1个单位。则平移后的二次函数的解析式为（ ）A. y=x21 B. y=x2 +1 C. y=(x1)2 D. y=(x+1)210.（2013淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 11.(2013年湛江)抛物线的最小值是 12. 已知二次函数y2x21（1）画出它的图象；（2）观察图象确定：当x取什么值时： y=0；y0；y02二次函数的图象与性质一、填表探索：开口方向最大（小）值顶点坐标对称轴y（x+2）2x= ,y=y（x2）2x= ,y=y3（x+5）2x= ,y=1函数y（x+2）2的图象可以看成是将yx2的图象向 平移 个单位得到的。2函数y（x-2）2的图象可以看成是将yx2的图象向 平移 个单位得到的。3函数y-3（x+5）2的图象可以看成是将 的图象向 平移 个单位得到的。4.在同一坐标系内画出二次函数y(x1)2，y=(x1)2的图象二、归纳函数（a、h是常数，a0）的图象及性质：开口方向顶点坐标对称轴2y=（x-h）2的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，其函数值y的最大（小）值为 。 当0时，y取最 值；当0时，y取最 值。3 y=（x-h）2的图象被对称轴直线x=h分成左右两部分，其性质刚好相反 。当0，xh时，y随x的增大而增大；当0，xh时，y随x的增大而减小。当0，xh时，y随x的增大而减小；当0，xh时，y随x的增大而增大；三、反馈练习：1、抛物线的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的2抛物线y2 (x-3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_3抛物线y-2 (x3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_4函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小当x 时，函数取得最 值，最 值y= 5把二次函数y=x2图象向左平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（ ）A、y=x2+3 B、y=x23 C、y=（x+3）2D、y=（x3）26写出一个顶点是（5，0）二次函数解析式_7把抛物线ym (xn)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y4 (x4)2，则m_，n_8抛物线y4 (x2)2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_9. 若抛物线y (x1)2过点（1，4），则_10. 在同一坐标系中，画出直线y=2x+6与抛物线y2(x1)2的图象，并确定它们交点的个数。3.二次函数的图象与性质 姓名：一、填表探索：开口方向最大（小）值顶点坐标对称轴y（x+2）2+2x= ,y=y（x2）2+2x= ,y=y3（x+5）2-2x= ,y=1、函数y（x+2）2+2的图象可以看成是将yx2的图象怎样平移得到的？2、函数y（x-2）2+2的图象可以看成是将yx2的图象怎样平移得到的？3、函数y-3（x+5）2-2的图象可以看成是将y-3x2怎样平移得到的？4.在同一坐标系内画出二次函数yx2，y（x2）2，y（x2）2-4的图象二、归纳函数（a、h是常数，a0）的图象及性质：开口方向顶点坐标对称轴1函数的图象是由“基础型”向左右和上下平移所得，所以称之为“综合平移型”二次函数,也叫二次函数的“顶点式”。2的顶点坐标是 ，对称轴是直线 .函数值y的最大（小）值为k。 当a0时，y取最小值；当a0时，y取最大值；3. 的图象被对称轴直线x=h分成左右两部分，其性质刚好相反 。当a0，xh时，y随x的增大而增大；当a0，xh时，y随x的增大而减小。当a0，xh时，y随x的增大而减小；当a0，xh时，y随x的增大而增大；三、知识反馈练习：1.（2013益阳）抛物线y=2（x3）2+1的顶点坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）2.（2013兰州）二次函数y=2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（1，3）3.（2013毕节）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A.y（x1）2+3 B. y（x+1）2+3 C. y（x1）2-3 D. y（x+1）2-34.（2013哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=x2+2 D.y=x2-25.（2013山东）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C. D.6.（2013泰安）对于抛物线y-（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（） A1B2C3D47.（2013雅安）将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）Ay=（x2）2By=（x2）2+6Cy=x2+6Dy=x28.顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线y2x2相同的解析式为 9抛物线y3 (x4)21中，当x_时，y有最_值是_10. 已知抛物线y(x2)22,（1）求抛物线与y轴的交点；（2）求抛物线与x轴的两个交点之间的距离.11、先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象（1） y2（x1）24；（2） y（x2）25；26.1.4二次函数的图象与性质一、实践与探索：1、如何通过配方，确定抛物线的顶点坐标和对称轴，再描点画图2、对于任意一个二次函数（a0），顶点坐标是（ ， ）； 对称轴是 归纳总结:1. 的图象被对称轴直x=分成左右两部分，其性质刚好相反 。当a0，x时，y随x的增大而增大；当a0，x时，y随x的增大而减小。当a0，x时，y随x的增大而减小；当a0，x时，y随x的增大而增大；2.填表：抛物线开口方向顶点坐标对称轴（基本型）时,开口向上;时,开口向下(上下平移型)(左右平移型)(综合平移型)(一般型)二、 应用练习：1、求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴（1） yx 24x7 （2）（3） （4）yx24x52.二次函数y2x212x16图象的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点坐标是 ；函数有最 （填“大”或“小”），这个最值是 3.已知二次函数y2x28x6，对称轴是 ；顶点坐标是 ；当_时，y随x的增大而增大；当_时，y随x的增大而减小；4.（2013台湾）坐标平面上有一函数y=3x2+12x7的图形，其顶点坐标为（）A（2，5）B（2，19）C（2，5）D（2，43）5二次函数y2x2bxc的顶点坐标是（1，2），则b_，c_6. (2013河南)在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）7.在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿轴方向向右平移2个单位长度后再沿轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )A.（，1） B.（1，）C.（2，）D.（1，）8.（2013徐州）二次函数图象上部分点的坐标满足下表：x32101y323611则该函数图象的顶点坐标为（）A（3，3）B（2，2）C（1，3）D（0，6）9.（2013济宁）二次函数（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aa0 B当1x3时，y0Cc0 D当x1时，y随x的增大而增大10.已知抛物线yx22x2（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式 姓名：一、知识归纳：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法。二、知识应用：1、根据题目的已知条件直接列出方程或方程组，然后求出待定系数的值。例：(1)、抛物线经过点（-2，8）则它的解析式为 （2）、抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，求该抛物线的解析式。（3）、已知抛物线过三点：（0，2）、（1，0）、（2，3）求该抛物线的解析式。2、根据题目中的条件先设二次函数的关系式，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）特殊的一般式：如果顶点经过原点，可设：（2）一般式：如果给出一般情况的三个点坐标，可设：（3）顶点式：如果给出两点，且其中一点为顶点，可设：例：（1）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽16m，涵洞顶点O到水面的距离为24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？(2)已知二次函数的图象经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（2，5），求该抛物线的解析式。（3）、已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1），求该抛物线的解析式。三、反馈练习：1.（2013福州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标2.（2013年安徽）已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式。3.（2013佛山）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；4.（2013宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式5.二次函数图象过A、B、C三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC.（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。26.2用函数的观点看一元二次方程一、问题探究：1、 抛物线y = a x 2 + b x + c与y轴交点就是令x = 0，求出y = c，即交点坐标为( 0， ).2、你知道二次函数的图象与x轴的交点个数与什么有关吗？给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个二、知识归纳：二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手求二次函数的图象与x轴是否有交点就是令y = 0，此时二次函数y = a x 2 + b x + c变为ax2 + bx + c = 0，这是 方程。即抛物线y = a x 2 + b x + c与x轴是否有交点，要看a x 2 + b x + c = 0 是否有解。 = b 2 4 a c方程a x 2 + b x + c = 0抛物线y = a x 2 + b x + c抛物线大致图象抛物线与x轴交点坐标0方程有 的实数根与x轴有两个交点(x1，0)和(x2，0)=0方程有 的实数根与x轴只有一个交点，即是抛物线的顶点(x，0)0方程 实数根与x轴没有交点无三、例题：1、函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 个2、函数的图象与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标是_ _.3. 二次函数yax2bxc，若ac0，则其图象与x轴( )A有两个交点B有一个交点 C没有交点D可能有一个交点四、巩固练习：1.抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_ _；2.(2013黄石)若关于的函数与轴仅有一个公共点，则=为 .3.已知抛物线yx22kx9的顶点在x轴上，则k_4如图填空：（1）a_0（2）b_0（3）c_0（4）b24ac_0（第5题）（第4题）5.（2013宁波）如图，二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）Aabc0B2a+b0Cab+c0D4acb206如图为二次函数yax2bxc的图象，在下列说法中：ac0； 方程ax2bxc0的根是x11，x23；abc0；当x1时，y随x的增大而增大正确的说法有_（把正确的序号都填在横线上）7.二次函数 的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围。8.已知抛物线y = x2 + mx 2m2 ( m 0 )求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；9.二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根（2）写出不等式的解集（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围26.3.实际问题与二次函数 姓名：一、创设情境：有一根长为40 cm的铁丝，把它弯成一个矩形框当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？上述问题，引发我们思考如何求二次函数的最大值或最小值的问题.二、二次函数的应用1.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？解:设花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为y m2，2. 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框透光面积最大？最大透光面积是多少？解:设做成的窗框的宽为xm，则长为 m.3.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？归纳总结：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果三、知识应用1从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=5t2+30t，问小球运动多少秒时处于最高位置？小球运动中的最大高度是多少m？2.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知