第41课 等比数列.doc

第41课 等比数列一、点击小题1某数列an是等比数列，记其公比为q，前项和为Sn，若成等差数列，则q_22已知等比数列满足,且对任意正整数,仍是该数列中的某一项,则公比的取值集合为_1 3已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9解：（1）a3a11a724a7，且a70，a74.b74.bn为等差数列，b5b92b78.4在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44解：（2）a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，得，q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 0245设数列an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan+1（nN*），若数列bn有连续四项在集合53, 23, 19, 37, 82中，则 6各项均为正数的等比数列中,.当取最小值时,数列的通项公式an=_. 7设数列an满足a38，(an+1an2)(2an+1an)0（nN*），则a1的值大于20的概率为_ 8在正项等比数列an中，若81，则_9解析：a2a4a32，a4a6a52，a42a3a5，81，即281.又a30，a50，故9二、例题精讲例1已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a（aR），且，成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN*，试比较与的大小解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意可知()2，即(a1d)2a1(a13d)，从而a1dd2，因为d0，所以da1a.故通项公式anna.（2）记Tn，因为a2n2na，所以Tn()1()n从而，当a0时，Tn；当a0时，Tn例2已知数列an的前项和为Sn，又有数列bn满足关系b1a1，对nN*，有an+Snn，bn+1an+1an（1）求证：bn是等比数列，并写出它的通项公式；（2）是否存在常数，使得数列Sn+cn+1为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）由，又，数列bn为等比数列，且（2）（），又a1+b11，依题意，存在c1，使得数列Sn+cn+1为等比数列例3已知数列an的前n项和为Sn，且，（nN*，t为常数）（1）若数列an为等比数列，求t的值；（2）若，数列bn前n项和为Tn，当且仅当n6时Tn取最小值，求实数t的取值范围解：（1） ；得，数列an为等比数列， ， （2）, 成等比数列，数列bn从第2项起是等差数列 数列bn前n项和为Tn，当且仅当n6时Tn取最小值，又b10，只需b60且b70可得0a61，a71 实数t的取值范围t 例4 设等差数列an的首项a1为a，前n项和为Sn（1）若S1，S2，S4成等比数列，求数列an的通项公式；（2）证明：nN*， Sn，Sn1，Sn2不构成等比数列解：（1）设等差数列an的公差为d，则Snna， S1a，S22ad，S44a6d由于S1，S2，S4成等比数列，因此S1S4，即得d (2ad)0所以，d0或2a当d0时，ana；当d2a时，an(2n1)a （2）证明：采用反证法不失一般性，不妨设对某个mN*，Sm，Sm1，Sm2构成等比数列，即因此a2madm(m1)d20， 当d0时，则a0，此时SmSm1Sm20，与等比数列的定义矛盾；当d0时，要使数列an的首项a存在，必有中的0然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d20，矛盾综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn1，Sn2都不构成等比数列例5 设等比数列的前n项和为已知（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列求证：；在数列中是否存在不同的三项（其中m、k、p成等差数列）成等比数列？若存在求出这样的三项；若不存在说明理由解析：（1）解：；（2）解：，则，错位相减法得（3）设，2km+p，k2mp，则kmp与题意矛盾，不存在例6 已知数列的首项（a为常数，且），（），数列的首项（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且为等比数列，求实数a的值；（3）当时，求数列的最小项解析：（1）=，