第45课 数列的综合应用.doc

第45课 数列的综合应用一、点击小题：1设Sn是数列an的前n项和,若（nN*）是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2，公比为4的等比数列，则数列bn_（填“是”或“不是”）“和等比数列” 是解：数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以24n-1=22n-1，bn2n1，设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn是“和等比数列” 2已知数列an为等差数列，若1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最小值为_20解：由题意知d0，a100，a110，a10+a110，由，解得，由Sn0得n0或n1920，Sn0的解集为nN*|n故使得Sn0的n的最小值为203已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于_64解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列而a11，a22，所以a1022432，a1112532又因为anan1bn，所以b10a10a11644假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0a12，a34.若bn2an (n1,2,3,4)给出以下命题：数列bn是等比数列；b24；b432；b2b4256其中正确命题的个数是_4解：设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a12d4，又0a12，所以1d2易知数列bn是等比数列，故正确；a2a3d(2,3)，所以b22a24，故正确；a4a3d5，所以b42a432，故正确；又a2a42a38，所以b2b42a2a428256，故正确二、例题精讲例1已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项（1）分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；（2）记为数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1cn（nN*）解析：（1）设公差为d，则，解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn，bn2n，Tn2n12.（2）因为Kn221322(n1)2n， 故 2Kn 222323n2n(n1)2n1， ，得Kn22122232n(n1)2n1，所以Knn2n1，则cn，cn1cn0，所以cn1cn（nN*）例2等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5a（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn，求数列bn的前99项的和解析：（1）设数列an的公差为d（d0）因为a1，a3，a9成等比数列，所以aa1a9，所以(a12d)2a1(a18d)，所以d2a1d因为d0，所以a1d因为S5a，所以5a1d(a14d)2.由解得a1d所以an(n1)n（nN*）（2）bn(1)所以b1b2b3b99(11111)(991)2752.75277.75.例3已知等差数列an满足：an+1an（nN*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列bn的前三项（1）分别求数列an,bn的通项公式an,bn；（2）设（nN*），若 （cZ）恒成立，求c的最小值解：（1）设d、q分别为数列an、数列bn的公差与公比由题意知，a11，a21+d，a31+2d，分别加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比数列bn的前三项，(2+d)2=2(4+2d)d2an+1an,d0d2，an2n1（nN*）由此可得b12，b24，q2，bn2n（nN*）（2）= 当n=1时，当n2时，Tn -，得(3)2,3)，满足条件c（cZ）恒成立的c的最小整数值为3例4已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*，（1）求数列an的通项公式；（2）令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；（3）令bn （n2），b13，Snb1b2bn，若Sn对一切nN*成立，求最小正整数m解：（1）an1fan，an是以为公差的等差数列又a11，ann（2）Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)（3）当n2时，bn，又b13，Snb1b2bn，Sn对一切nN*成立即，又递增，且，即m2010最小正整数m2010变式：已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若bnanlogan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an10恒成立，试求m的取值范围解：（1）设等比数列an的首项为a1，公比为q依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38a2a420.解之，得或又an单调递增，an2n(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n2Sn122223324(n1)2nn2n