数学 期中论文.doc

导数与微分的应用班 级： 机电1151班 学生学号：1101043552 学生姓名： 许宏昌 微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，证明不等式，恒等式及恒等变形，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值方面起着“钥匙”的作用.中学数学中加入导数的基础知识不仅丰富了函数的基础知识，而且使得对函数内容以及对函数性质的研究更加完整化、系统化，在初等数学与高等数学中导数起着“桥梁”作用，为中学生进入高等学府后继续学习奠定了基础.函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.11(有界性定理) 若函数在闭区间上连续,则在上有界.即$常数 ,使得有.定理2.2（最大、最小值定理） 若函数 在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值.定理2.3（介值性定理） 设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任意实数(或),则至少存在一点使得在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例4.1.15是定义在实数集上的函数,若对任意,有,其中是常数,则是常值函数.证明 对任意,的改变量为,由条件有,即,两边关于取极限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函数.导数是高等数学中一个很重要的概念，深入理解导数的概念能够帮助我们很好地解题.下面我来介绍一下导数的一些应用。例1.已知曲线,求过点P的曲线的切线方程.解：因，所以，则当时，. 当时，点P在曲线上，故过点P的曲线的切线方程为即， 当时，点P不在上，设曲线过点P的切线的切点是，则切线方程为且点P在此切线方程上，所以有 即又 则有 ，即 ，当时， 所以；当时， ，所以切线方程是 ，即 ，当时，切线不存在.例2. 已知抛物线和抛物线，当取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.分析：传统的处理方法是用法来解决，但计算量大，容易出错，如能运用导数的几何意义去解，则思路清晰，解法简单.解：设分别是直线与、的两个切点.又，的导数分别为：，所以 ，即 又、有且只有一条公切线，则点A与点B重合，所以，即，有点在上，可知，此时.极限、导数和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、