高中数学第三讲3.2一般形式的柯西不等式课后导练新人教选修.docx

3.2 一般形式的柯西不等式课后导练基础达标1设A=a2+b2+c2,B=ab+bc+ca(a,b,cR),则A、B的大小关系是( )A.AB B.A0且ab+bc+ca=1,则a+b+c的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.解析:(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)(ab+bc+ca)2=1.a2+b2+c21.从而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)1+2=3.a+b+c.答案:D3若ab,则a2+3b2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a2+3b22b(a+b) B.a2+3b2(ab+ba+2b2)2=4b2(a+b)2(ab,“=”不取),a2+3b22b(a+b).答案:A4若a,b，c0，则M=(a+b+c)(a2+b2+c2),N=9abc的大小关系为( )A.MN B.M0，M=ab+bc+ca+c2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN与P的大小关系是( )A.MNP B.MNPC.MNP D.MN D.解析:ABC,(A+B+C)()(1+1+1)2=9.等号当且仅当ABC=时取得.答案:A7a、b、cR+，求证：.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),(a+b)+(b+c)+(c+a)(1+1+1)2=9.等号当且仅当a=b=c时取得.8aR，求证:(1+a+a2)23(1+a2+a4).证明:3(1+a2+a4)=(1+1+1)(1+a2+a4)(1+a+a2)2.9设a、b、cR+，求证：a2+b2+c2.证明:(bc+ac+ab)()(a2+b2+c2)2.又bc+ac+aba2+b2+c2,(a2+b2+c2)()(a2+b2+c2)2,即a2+b2+c2.拓展探究10设n是不小于2的正整数，证明.证明:()(n+1)+(n+2)+2n(1+1+1)2=n2,由柯西不等式,备选习题11已知非负数xi(i=1,2,3,n)满足x1+x2+xn=1,求证：(nN*).证明:=原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p.求证：.解析:设,记=s,则x+y+z=s,x2+y2+z2=p.（注:a+b+c=2p）由柯西不等式得s2=(x+y+z)2(x2+y2+z2)(12+12+12)=3ps,即13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3(1)x2+y2+z2=3(2)x5+y5+z53（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2(x2+y2+z2)(12+12+12)=33,上式等号成立的充要条件是,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).14设xiR+（i=1,2,n），试证(x1+x2+xn)n2.证明:()2+()2+()2()2+()2+()2+2=(1+1+1)2.15设a,b,cR+，试证.证明:()2+()2+()2()2+()2+()2(a+b+c)2,即()(b+c+c+a+a+b)(a+b+c)2.故.16设a,b,c,d1，且loga(bcd)9,试证logba+logca+logda1.证明:()2+()2+()2()2+(