数学人教版九年级上册《二次函数整数点坐标问题》教学设计.doc

二次函数整数点坐标问题教学设计人民教育出版社初中 九年级 上学期北京市燕山向阳中学 赵栋TEL次函数整数点坐标问题设计者： 赵栋 单 位： 燕山向阳中学教材版本：人教版 教学年级：九年级第一学期一、教学分析1教学目标分析： 1）知识与技能：、能利用一元二次方程根的判别式确定相应二次函数的图象与轴的位置关系。、能综合运用方程思想、数形结合等方法，判断点坐标为整数的情况并求解。 2）过程与方法：经历运用一元二次方程根的判别式解决二次函数问题的过程，体会二次函数和一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型，并能进一步体会二者的联系。能依据具体问题寻找解决问题的隐含条件，并能通过讨论和思考确定问题的结论，进一步利用方程、函数图象性质等数学方法进行分析和验证解答过程的合理性。 3）情感态度价值观：以我国数学家名言为导引，激发学生爱国情感，提高兴趣，促进学习。以小组合作探究解决问题方式，促进师生交流，构建和谐课堂。2.教学重难点分析： 教学重点：利用一元二次方程根的判别式和二次函数图象解决综合问题的方法是课程学习重点。 教学难点：分析探索题目中隐含的关系，并且寻找解决问题的途径和技巧是课程难点。3.教学内容与学生情况分析本节课程是以二次函数为背景的一节综合题探究课，是针对2015年北京中考数学第27题关于二次函数综合题的归纳复习课，也是引导学生从二次函数已知条件入手，利用方程思想、函数思想、数形结合思想进一步推导其他结论的思维训练。课程设置问题起点低，推导过程比较明晰，所用数学方法有一定联系和连贯性，便于学生有目的、有步骤的进行探索和学习，并且能引导学生在学习过程中体现较综合的数学思维。学生处于初中九年级，有一定的综合分析能力，所授课班级具备较好数学基础，具有独立思考和小组讨论相结合的综合学习能力，具备开展综合分析数学学习活动的条件。因此，根据上述情况，设计课程内容和教学学案，让学生学有所依，能根据学案引导，逐步完成课程任务，完成教学预设目标，让学生能通过课堂教学丰富数学方法，培养数学核心素养。二、教学设计思想 1、教学策略设计 利用几何画板可以展示函数图像的基本性质和图像变换，所以本节课程利用几何画板引导学生分析二次函数图像蕴含的几何意义。根据二次函数图像性质与点坐标的联系，进行题目分析。组织学生根据已知问题，以小组的形式探索题目求解过程，并且形成通式通法。 2、信息技术与学科教学整合 利用多媒体技术引导学生观察图像和题目已知条件，进一步进行猜想和归纳。利用几何画板相关功能，引导学生独立思考问题和小组讨论相结合，最终落实到学案上，形成解决问题的方法和过程。 3、教学媒体的准备及使用环境 几何画板及多媒体电脑设备，电子白板多媒体教室，教学学案三、教学评价设计评价阶段评价标准自评小组互评教师评 价3分5分2分学习准备阶段能认真审题，注意课程引导教学活动阶段1、能积极思考，回答问题。2、能根据教师引导形成解题思路。3、能独立思考，完成学案任务。交流互动阶段1、能在小组中担任提问者、思考者、设计者、小结者等任务角色。2、能根据教师引导进行讨论，完成所学习的教学任务。形成成果阶段1、能根据小组活动进行小结，并且回答教师问题。2、和其他的小组形成互动交流。拓展阶段根据教学任务，针对PPT问题，在教师引导下，利用几何画板探索二次函数图像问题。教学策略实施效果评价能根据自己所学任务进行反思，能利用小组活动拓展思维，积极完成小组任务和课程反馈活动。 备注：每项满分10，共10项100分。权重比：自评：小组评：教师评价=3:5:2四、教学活动教学环节教师活动媒体资源学生活动策略意图一、练习引入（2分钟）1、展示教学背景资料投影PPT文字资料学生阅读资料，心理期待进行学习准备。进行传统数学文化熏陶。2、展示PPT例题，引导学生阅读学案PPT材料，学案阅读问题，进行思考。二、课程引例（15分钟）1、展示例题1： 例题1、已知关于x的一元二次方程 .（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值PPT材料，学案阅读问题，新型思考通过阅读问题，进行思考，引入新课和例题。2、教师问题：已知条件中，关于的一元二次方程是一般式吗？能确定二次项系数、一次项系数、常数项吗？有什么需要注意的问题？PPT材料，学案学生活动：是一元二次方程的一般式。二次项系数是：，一次项系数是，常数项是：。学生活动：要注意二次项系数不为0，即根据教师引导分析已知条件，形成解题思路。3、教师问题：问题（1）中怎样理解“该方程有两个不相等实数根”这一条件，如何列式表示？4、教师巡视，订正答案，展示过程，辅导改错。5、教师：好，我们继续研究问题（2），在（1）的条件下，与一元二次方程相应的二次函数与轴交点横坐标如何计算？有什么限制条件？6、教师巡视，注意提醒学生的值为负数的情况，容易被学生忽略。引导学生小结。PPT材料，学案学生活动：一元二次方程有两个不相等实数根可以列式表示为：学生：二次函数与轴的交点横坐标是方程的两个根。限制条件是：m0和m3，且，是整数。还要满足方程的根是整数。以小组合作的形式，形成头脑风暴，进行解题思路的探索和归纳。三、例题拓展（15分钟）1、展示例题2，请同学们先审题，分析上述问题和例题1的共同特征，我们可以怎样进行分析？ 例题2、已知：抛物线（1）求证：此抛物线与轴有两个不同交点。（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值。教师：与例题1有什么联系？PPT例题演示学生：要证明学生：求相应一元二次方程的整数解。是整数。学生：是完全平方数。注意题目之间的联系，能根据已知条件，进行转化。注重思维习惯的培养，从条件入手，逐步分析问题。2、教师：请同学们试一试，小组讨论求解答案。发现了什么问题。如何解决这个问题？小组讨论。 提示：可以设，得到。然后如何求解？学案例题板书学生：可以用平方差公式，将其降次成为二元一次方程组。设，是整数（是一个完全平方数）由此得： 可推导出1和4、4和1、2和2、-1和-4、-4和-1、-2和-2等可能性，经分类讨论可得： 或解得或综上所述：将未知问题转化为已知问题，利用转化思想和方程思想解决问题。3、教师巡视，注意提醒学生的值为负数的情况，容易被学生忽略。板书学生小组讨论，归纳小结注意归纳，通式通法四、综合应用（时间分钟）1、教师活动：我国著名的数学家曾写了一首词，以说明数形结合的重要性：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。出示例题3，请同学们分析，并完成题目。 例题3、如图，以A为顶点的抛物线与轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为（3,0）、（0,4）. (1)、求抛物线的解析式. （2）、设P是抛物线上的一点，（是正整数），且位于对称轴的右侧，若以P、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点P的坐标。教师：已知给了什么条件？教师：根据已知条件能求解析式吗？如何求？请同学们独立完成。教师：第二问知道什么条件？可以求出什么结论？教师：还有没有方法通过抛物线轴对称性质确定P点的位置？如何进行验证？PPT引言PPT学案电子白板几何画板学案投影机 学生：给了抛物线顶点坐标和抛物线上一点。 学生：可以用一般式或者顶点式求抛物线解析式。 学生阅读题目，利用几何画板分析题目条件，小组讨论方法和过程。完成学案。展示学生思维过程和解题过程。 学生：第二问知道A、B、O点坐标，可以求AO和BO的长。 学生：根据四个连续整数，可以确定PB和PA的取值范围。 学生：因为点P在对称轴右侧，根据函数图像可以确定点P的横坐标的取值范围。 学生：可以通过函数图象的轴对称性质，确定点P的坐标。 学生：可以根据的函数关系和是正整数这两个条件确定P。通过数学家华罗庚的名言激发学习热情，并且揭示解决问题的方法数形结合。能根据抛物线的轴对称性探索问题的结果，通过合作交流进行分析和验证。通过教师引导和讲解使不同程度的学生能有不同的体验，使数学课程成为思维交流展示的阶梯。板书设计二次函数整数点坐标问题1、设y=0，则 ， ， 当 是整数时，可得m=1或m=-1或m=3 ， m的值为1或3活动1：练习引入 教师活动：（展示教学背景资料投影）二次函数问题是初中数学数形结合的典范，在解决问题的时候，既要分析函数解析式所蕴含的条件，又要结合函数图像进行探索和分析。 数学家苏步青先生说：“学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。”今天的数学课，就让我们边学边思考，争取每个人都有新的收获。 今天我们就来研究以二次函数为背景的综合题。 学生活动：阅读背景资料，学习准备。（设计目的：朗读背景资料。激发学生爱国情感，以及学习数学的情感期待）活动2：课程引例教师活动：展示例题1： 例题1、已知关于x的一元二次方程 .（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值教师问题：已知条件中，关于的一元二次方程是一般式吗？能确定二次项系数、一次项系数、常数项吗？有什么需要注意的问题？ 学生活动：是一元二次方程的一般式。二次项系数是：，一次项系数是，常数项是：。 学生活动：要注意二次项系数不为0，即 教师问题：问题（1）中怎样理解“该方程有两个不相等实数根”这一条件，如何列式表示？ 学生活动：一元二次方程有两个不相等实数根可以列式表示为： 教师：请同学们在学案上完成问题（1）。 教师巡视，订正答案，展示过程，辅导改错。 教师：好，我们继续研究问题（2），在（1）的条件下，与一元二次方程相应的二次函数与轴交点横坐标如何计算？有什么限制条件？ 学生：二次函数与轴的交点横坐标是方程的两个根。 学生：限制条件是：m0和m3，且，是整数。 学生：还要满足方程的根是整数。教师:请同学们根据讨论结果，完成题目。教师巡视，注意提醒学生的值为负数的情况，容易被学生忽略。引导学生小结。（设计目的：让学生从熟悉的问题入手开展教学过程，展示学生的答案，观察学生的学习过程，关注学生交流讨论和小结学习过程，引导课堂融洽自然的气氛。）附解答：解：（1）由题意 m 0， 方程有两个不相等的实数根， 0 即 得 m3 m的取值范围为m0和m3； （2）设y=0，则 ， ， 当 是整数时，可得m=1或m=-1或m=3 ， m的值为1或3 活动3：例题拓展 教师活动：展示例题2，请同学们先审题，分析上述问题和例题1的共同特征，我们可以怎样进行分析？ 例题2、已知：抛物线（1）求证：此抛物线与轴有两个不同交点。（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值。 教师：与例题1有什么联系？ 学生：要证明 学生：求相应一元二次方程的整数解。是整数。学生：是完全平方数。教师：请同学们试一试，小组讨论求解答案。发现了什么问题。如何解决这个问题？小组讨论。 提示：可以设，得到。然后如何求解？ 学生：可以用平方差公式，将其降次成为二元一次方程组。 教师巡视，展示学生答案，关键步骤板演，并小结。（设计目的：通过问题1和问题2的比较，让学生能根据已学知识主动探索结果，并在教师的引导下学习新的方法，体会其思路和解决过程。）附解答：设，是整数（是一个完全平方数）由此得： 可推导出1和4、4和1、2和2、-1和-4、-4和-1、-2和-2等可能性，经分类讨论可得： 或解得或综上所述：活动4：综合应用教师活动：我国著名的数学家曾写了一首词，以说明数形结合的重要性：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。出示例题3，请同学们分析，并完成题目。 例题3、如图，以A为顶点的抛物线与轴交于点B。已知A、B两点的坐标分别为（3,0）、（0,4）. (1)、求抛物线的解析式. （2）、设P是抛物线上的一点，（是正整数），且位于对称轴的右侧，若以P、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点P的坐标。 教师：已知给了什么条件？ 学生：给了抛物线顶点坐标和抛物线上一点。 教师：根据已知条件能求解析式吗？如何求？请同学们独立完成。 学生：可以用一般式或者顶点式求抛物线解析式。 教师巡视，纠正问题，展示学生答案。 教师：第二问知道什么条件？可以求出什么结论？ 学生：第二问知道A、B、O点坐标，可以求AO和BO的长。 学生：根据四个连续整数，可以确定PB和PA的取值范围。 学生：因为点P在对称轴右侧，根据函数图像可以确定点P的横坐标的取值范围。 教师：还有没有方法通过抛物线轴对称性质确定P点的位置？如何进行验证？ 学生：可以通过函数图象的轴对称性质，确定点P的坐标。 学生：可以根据的函数关系和是正整数这两个条件确定P。 教师小结，并演示关键步骤。（设计目的：通过数学家华罗庚的名言激发学习热情，并且揭示解决问题的方法数形结合。能根据抛物线的轴对称性探索问题的结果，通过合作交流进行分析和验证。通过教师引导和讲解使不同程度的学生能有不同的体验，使数学课程成为思维交流展示的