数的概念的扩展.ppt

数的概念的扩展 一 数的概念的产生和扩展过程 原始社会 由于计数的需要产生了自然数的概念 随着文字的产生和发展 出现了记数的符号 1 2 3 4 进而建立了自然数的概念 自然数的全体构成自然数集 此时只有自然数 其它的数如正数 负数 分数 甚至连零都还没有出现 人们的一切活动也都用自然数表示 在计算时也只能进行加法和乘法运算 一 数的概念的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断发展 有些活动就无法用数来表示了 如某人本来有五斗粮食 有一天他因故损坏了别人房屋须赔偿十斗粮食 他现在还有几斗粮食 这一问题在当时是无法用数学解决的 因为5 10 N 数集 自然数集 面临着第一次扩展 一 数的概念的产生和扩展过程 自然数集如何扩展呢 引进 新数 0和正负整数 组成新数集整数集Z 0 1 2 确定数集扩展的原则 第一 要能解决实际问题或数学内部的矛盾 第二 要保留原有数集的性质 特别是它的运算性质 同时又增加一些新的运算性质 引入新概念 零和正负整数 数集N扩展了 于是 5 10 5 Z 一 数的概念的产生和扩展过程 在整数集的范围内 某些生产活动可以用减法运算表示了 但类似 三担粮食均分给七人 每人可得多少担粮食 的问题仍然无法解决 因为3 7 Z 同学思考 此时怎么办 一 数的概念的产生和扩展过程 数集 整数集 第二次扩展 表示新数的符号 如有理数Q 0 1 2 根据数集扩展的原则 引入新数 分数 及 引入新概念 分数数集Z又扩展了 一 数的概念的产生和扩展过程 一 数的概念的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数集的建立 大约是在公元前五世纪左右 由当时古希腊伟大的数学家 毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成 一 数的概念的产生和扩展过程 当时毕达哥拉斯学派认为 万物皆数 指整数 数是现实的基础 是严整性和次序的根据 是在宇宙体系里控制着的永恒的关系 宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 世界上只存在整数和分数 除此以外 没有别的什么数了 一 数的概念的产生和扩展过程 毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献 证明了勾股定理 一 数的概念的产生和扩展过程 不久 毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现 边长为1正方形的对角线长m既不是整数也不是分数 是当时人们还没有认识的新数 希伯斯的发现 推翻了毕达哥拉斯学派的理论 动摇了这个学派的基础 为此引起了他们的恐慌 引起了第一次数学危机 为了维护学派的威信 他们严密封锁希伯斯的发现 如果有人胆敢泄露出去 就处以极刑 在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时 毕达哥拉斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯 最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯 他们残忍地将希伯斯扔进地中海 一 数的产生和扩展过程概念的 希伯斯发现 若 x2 2则 x Q 为解方程x2 2引入 2的平方根概念 并用符号 表示于是 x2 2 x 同时把它 即 称为无理数 从而引发 数集 有理数集 第三次扩展 一 数的概念的产生和扩展过程 数集 有理数集 第三次扩展 引进 新数 无理数及其符号表示方法如 实数R 0 1 2 引入新概念 无理数 数集Q进一步扩展了 一 数的概念的产生和扩展过程 通过上述数的概念的扩展过程 可以看到 1 数的概念扩展的动力 解决实际问题数学内部矛盾的需要 2 数的概念发展了 数集也就扩展了 3 因而可以说 数集是随着新数的概念的引入而扩展的 数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾 一 数的概念的产生和扩展过程 复习回顾 数系的扩充 用图形表示为 新课引入 即 在实数范围内 引入新数 实数范围内不能解决这个问题 那么我们能否将实数集进行扩充 使得在新的数集中 该问题能得到圆满解决呢 虚数单位 我们把引入的这个数叫做虚数单位 并且规定 复数的定义 我们把形如a bi a b R i是虚数单位 的数叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集 一般用字母C表示 复数的代数形式 复数的分类 对于复数 当且仅当b 0时 复数a bi是实数a 当b 0时 复数z a bi叫做虚数 当a 0且b 0时 z bi叫做纯虚数 当且仅当a b 0时 z就是实数0 复数集与其它集合的关系 图形表示 例1说出下列三个复数的实部 虚部 并且指出它们是实数还是虚数 如果是虚数还应指出是否为纯虚数 根据复数的概念 复数a bi中 b 0时叫实数 b 0时叫虚数 a 0且b 0时叫纯虚数 分析 注意 虚数单位的平方是实数 例题分析 例2实数m取什么数值时 复数z m 1 m 1 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 1 当m 1 0 即m 1时 复数z是实数 2 当m 1 0 即m 1时 复数z是虚数 3 当m 1 0 且m 1 0时 即m 1时 复数z是纯虚数 例3计算 化简 解 通过计算发现 虚数单位的乘方具有周期性 1 计算 2 指出下列复数中的实部和虚部 并观察是否有纯虚数 3 实数取何值时 复数是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 动手做一做 小结 虚数单位 1 2 实数与它进行四则运算时 原有加 乘运算律仍然成立 3 周期性 小结 形如的数叫复数 a叫复数的实部Rez b叫复数的虚部Imz 全体复数所成的集合叫做复数集 用字母C表示