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DSP的数字滤波器设计作者姓名：王珊珊 班级：200404070526 指导教师：王晓亮摘 要随着集成电路技术的发展，各种新型的大规模和超大规模集成电路不断涌现，集成电路技术与计算机技术结合在一起，使得对数字信号处理系统功能的要求越来越强。在数字信号处理中数字滤波占有极其重要的地位。数字滤波是语音信号、图象处理模式识别和谱分析等领域中的一个基本的处理技术。本设计基于DSP，完成FIR与IIR数字滤波器的设计与软硬件仿真。数字滤波器设计的常用方法包括窗函数法、频率采样法和最优化法等。本次设计在了解了数字滤波器设计原理的基础上，分别采用了窗函数法对不同指标的低通、高通、带通、带阻以及切比雪夫一型滤波器进行设计，在matlab软件下绘画出各种设计方法的幅频响应和相频响应曲线。同时在CCS环境以及DSP硬件平台上仿真，对比仿真后波形图，看得出实际图形是否与预期图形相符合。关键词：数字滤波器；Matlab软件；窗函数法；DSPDigital Filter Design Based On DSPAbstract： With the development of the integrated circuit technology, each kind of new large-scale and the ultra large scale integrated circuit emerges increasingly, the integrated circuit technology and the computer technology unified together, it makes digital signal processing system function request to be getting stronger and stronger. The digital filtering holds the extremely important status in the digital signal processing. The digital filtering is a basic processing technology in the area of voice signal, imagery processing domain, and pattern recognition and spectrum analysis.Based on DSP, this article describes the software and hardware simulation of FIR and IIR digital filter. The common method once used on designing digital filter includes window function method, frequency sampling law, most superior reduction and so on. Upon understanding the fundamental principle of designing digital filter, we will use the window function method separately with the different target on low pass, high pass, the band pass, the band stop filter as well as Chebyshev filters to make it work. Drawing the frequency response and the frequency response curve of each method under the matlab software. Meanwhile, with the DSP hardware platform, contrasting the oscillogram after simulation, it will draw the conclusion whether the actual graph matches with the anticipated graph under the CCS environment.Keywords: digital filter; matlab software; window functions; DSP目 录第1章 前 言11.1 研究背景11.2 研究意义21.3 主要内容与要求3第2章 系统开发平台42.1 CCS开发环境42.2 硬件平台42.3 计算机辅助设计方法6第3章 数字滤波器的基本理论73.1 数字滤波器的基本结构73.1.1 FIR滤波器的基本结构73.1.2 IIR滤波器的基本结构83.2 数字滤波器的设计原理93.3 FIR数字滤波器的设计方法103.3.1 类型，系数对称，N奇数103.3.2 类型，系数对称，N偶数113.3.3 类型，系数反对称，N奇数123.3.4 类型，系数反对称，N偶数123.3.5 FIR数字滤波器的窗函数设计方法153.3.6 利用频率取样法设计FIR滤波器163.3.7 其他几种窗函数的介绍193.4 IIR数字滤波器的设计方法283.5 FIR滤波器与IIR滤波器的比较30第4章 利用MATLAB设计数字滤波器324.1 FIR数字滤波器324.1.1 FIR低通数字滤波器324.1.2 FIR高通数字滤波器324.1.3 FIR带通滤波器334.1.4 FIR带阻数字滤波器354.2 IIR数字滤波器354.2.1 IIR低通数字滤波器354.2.2 IIR高通数字滤波器364.2.3 切比雪夫函数设计IIR高通滤波器37第5章 数字滤波器的DSP实现445.1 ICETEKF2812-A评估板技术指标445.2 ICETEKF2812-A评估板实物图445.3 ICETEK-F2812-A器件分布图455.4 ICETEKF2812A评估板原理框图455.5 现场硬件连接图465.6 DSP实现465.6.1 有限冲击响应滤波器（FIR）算法465.6.2 无限冲激响应滤波器（IIR）算法495.6.3 快速傅立叶变换（FFT）算法525.6.4 语音信号的FIR滤波55结 论58致 谢59参考文献60IV本科毕业设计（论文）第1章 前 言1.1 研究背景随着集成电路技术的发展，各种新型的大规模和超大规模集成电路不断涌现，集成电路技术与计算机技术结合在一起， 使得对数字信号处理系统功能的要求越来越强。DSP技术已在通信、控制、信号处理、仪器仪表、医疗、家电等很多领域得到了越来越广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波占有极其重要的地位。数字滤波在语音信号、图象处理、模式识别和谱分析等领域中是一个基本的处理技术。数字滤波与模拟滤波相比，数字滤波具有很多突出的优点，主要是因为数字滤波器是过滤时间离散信号的数字系统，它可以用软件（计算机程序）或用硬件来实现，而且在两种情况下都可以用来过滤实时信号或非实时信号。尽管数字滤波器这个名称一直到六十年代中期才出现，但是随着科学技术的发展及计算机的更新普及，数字滤波器有着很好的发展前景。目前，国外有许多院校和科研机构在研究基于FPGA的DSP应用，比较突出的有Denmark大学的研究小组正在从事FPGA实现数字滤波器的研究。加州大学洛杉矶分校的研究小组采用运行时重构技术开发了一种视频通讯系统，该系统用一片FPGA可每帧重构四次完成视频图像压缩和传送的操作。此外，他们还在进行Mojave项目的开发工作，力图采用运行时重构技术来实现自动目标识别应用。我国在DSP技术起步较早，产品的研究开发成绩斐然，基本上与国外同步发展，而在FPGA方面起步较晚。全国有100来所高等院校从事DSP&FPGA的教学和科研，除了一部分DSP芯片需要从国外进口外，在信号处理理论和算法方面，与国外处于同等水平.而在FPGA信号处理和系统方面，有了喜人的进展，正在进行与世界先进国家同样的研究.西北工业大学和国防科学技术大学的ATR实验室采用了FPGA可重构计算系统进行机载图像处理和自动目标识别，主要是利用该系统进行复杂的卷积运算，同时利用它的可变柔性来达到自适应的目的。20世纪60年代起，由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器的发展上了一个新台阶，朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉等方向努力，其中高精度、小体积、多功能、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向，导致数字滤波器、RC有源滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成己被研制出来并得到应用，90年代至现在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。1.2 研究意义几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号的处理问题，其信号表现形式有电、磁、机械以及热、光、声等。信号处理的目的一般是对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等。如何在较强的噪声背景下提取出真正的信号或信号的特征，并将其应用于工程实际是信号处理的首要任务。根据处理对象的不同，信号处理技术分为模拟信号处理系统和数字信号处理系统。数字信号处理(Digital signal Processing，DSP)与模拟信号处理相比有许多优点，如相对于温度和工艺的变化数字信号要比模拟信号更稳健，在数字表示中，精度可以通过改变信号的字长来更好地控制，所以DSP技术可以在放大信号的同时去除噪声和干扰，而在模拟信号中信号和噪声同时被放大，数字信号还可以不带误差地被存储和恢复、发送和接收、处理和操纵。许多复杂的系统可以用高精度、大信噪比和可重构的数字技术来实现。数字信号处理中一个非常重要且应用普遍的技术就是数字滤波。所谓数字滤波，是指其输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信号所含的频率成分的相对比例或滤除某些频率成分，达到提取和加强信号中的有用成份，消弱无用的干扰成份的目的。数字滤波与模拟滤波相比，有精度高、可靠性高、灵活性好等突出优点，可以满足对幅度和相位的严格要求，还能降低开发费用，缩短研制到应用的时间，在很多领域逐步代替了传统的模拟信号系统。数字滤波器，在数字信号处理中有着广泛的应用，因此，无论是在理论研究上还是在如通讯、HDTV(高清晰度电视)、雷达、图象处理、数字音频等实际应用上都有着美好的技术前景和巨大的实用价值1 张亚妮.基于MATLAB的数字滤波器设计J. 辽宁工程技术大学学报，2005.。基于matlab实现数字滤波设计，可通过修改滤波器的参数十分方便地改变滤波器的特性，因此我们有必要对滤波器的设计方法进行研究，理解其工作原理优化设计方法，设计开发稳定性好的滤波器系统。掌握滤波器的设计技术和原理能为在通信领域、信号处理领域等诸多领域中对数字滤波器的设计提供技术和准备，这不仅具有重要的理论意义同时还具有重要的现实意义。1.3 主要内容与要求本次毕业设计中主要完成的内容包括（1）通过书籍阅读和文献搜索学习MATLAB和数字滤波器，并掌握MATLAB的使用和数字滤波器的设计方法。（2）数字滤波器原理分析与设计方法概述。分析数字滤波器的原理，对FIR以及IIR数字滤波器常见设计方法的介绍。（3）FIR以及IIR数字滤波器的matlab软件实现（4）设计若干类型的FIR以及IIR（低通、高通、带通、带阻以及切比雪夫）数字滤波器，并在matlab上实现。（5）数字滤波器的硬件电路实现选择LF2812芯片设计外围电路实现数字滤波器的硬件设计（6）运用LF2812实现IIR以及FIR算法实验，并以此为基础，设计并实现FIR语音信号滤波。（7）各项试验完成后，对各个实验结果进行分析，比对。看实际波形与理想波形的不同之处，比较滤波前后的时域频域波形。第2章 系统开发平台2.1 CCS开发环境CCS提供了配置、建立、调试、跟踪和分析程序的工具，它便于实时、嵌入式信号处理程序的编制和测试，它能够加速开发进程，提高工作效率。CCS提供了基本的代码生成工具，它们具有一系列的调试、分析能力。CCS支持所示的开发周期的所有阶段。图 2-1 开发周期的所有阶段2.2 硬件平台下面来看一下即将用到的ICETEK DSP 实验箱，如图2-2 所示。图 2-2 实验箱的组成ICETEK DSP 教学实验箱主要由以下几个部分组成(1)箱盖保护实验箱设备；保存教材、使用手册、实验指导书、各种实验用的连线；可拆卸，在实验中可从箱体上拆下。(2)箱体装载实验箱设备；左侧外壁上有一个标准外接电源线插孔；通过固定螺丝与实验箱底板连为一体。(3)底板固定各模块；提供电源开关、实验用直流电源插座、A/D D/A 输入输出插座、各模块直流供电插座、信号插座、信号源输出插座、测试点；实现显示控制模块和 DSP 评估板模块的信号互连。(4)信号源两组、三路输出，采用+5V 电源供电；提供切换选择输出方波、三角波、正弦波和白噪声，另可选择输出频率范围(10Hz-100Hz，100Hz-1KHz，1KHz-10KHz，10KHz-30KHz)，还可进行频率和幅度(0-3.3V)的微调。(5)仿真器模块固定 ICETEK 仿真器，支持 PP 型和 USB 型；提供 PP 型仿真器供电+5V 电源插座；仿真器可从底板上拆下单独使用或更换。(6)显示控制模块通过信号线连接到底板；从底板提供的+5V 和+12V 直流电源插座输入电源；提供液晶图形显示(128x64 象素)，发光二极管阵列显示（8x8 点）（本功能为 V4.3 版本特有)，指示灯(12 只，分为红、黄、绿三种颜色)，四相步进电机，直流电机，键盘，蜂鸣器。显示控制模块可从底板上拆下更换。(7)DSP 评估板模块固定各种 DSP 评估板；提供+5V 直流电源插座(两个位置)；34Pin 信号线插座(4 个)，用于连接 DSP 评估板和实验箱底板。DSP 评估板模块可从底板上拆下更换。 图 2-3DSP实验箱结构图本文第五章DSP的硬件实现将要用到上述的CCS开发环境，需要借助上述试验箱完成有关滤波器的相关软硬件仿真。后文中将详细介绍，在此不再赘述。2.3 计算机辅助设计方法 Ingle V K,Proakis J G. Digital Processing Using MATLABM. PWS Publishing Company, 2003计算机辅助设计方法是集电路理论、网络图论、数值分析、矩阵运算、原件建模、优化设计、高级计算机语言等多交叉学科于一身的新领域，它把计算机的快速、高精度、大存储量、严格的逻辑判断和优良的数据处理能力与人的思维创造能力充分结合起来，极大的简化了数字滤波器的设计过程。在优秀科技应用软件MATLAB的信号处理工具箱中，提供了一整套模拟、数字滤波器的设计命令和运算函数，方便准确，简单易行，使得设计人员除了可以上述传统设计步骤快速地进行较复杂高阶选频滤波器的计算、分析外，还可以通过原型变换法直接进行各种典型数字滤波器设计，即应用MATLAB设计工具从模拟原型直接变换成满足原定频域指标要求的数字滤波器。传统设计方法思路清晰，步骤详尽，可参阅公式、手册循章而行。但是由于计算繁琐，手工计算大多只能用来进行简单低阶选频滤波器的设计。而计算机辅助设计在拥有了传统的设计的优势上更结合了一些特定属于自己的优势，能进行各种相关的比较复杂的滤波器设计，弥补了传统上的不足。所以，我最终选择了计算机辅助设计的方法，在MATLAB环境下进行数字滤波器的设计和仿真。第3章 数字滤波器的基本理论3.1 数字滤波器的基本结构作为线性时不变系统的数字滤波器可以用系统函数来表示，而实现一个系统函数表达式所表示实物系统可以用两种方法一种方法是采用计算机软件来实现；另一种方法是用加法器、乘法器和延时器等元件设计出专用的数字硬件系统，即硬件实现。不论软件实现还是硬件实现，在滤波器设计过程中，由同一系统函数可以构成很多不同的运算结构。对于无限精度的系数和变量，不同结构可能是等效的，与其输入和输出特性无关；但是在系数和变量精度有限的情况下，不同运算结构的性能就有很大的差异。因此，有必要对离散时间系统的结构有一些基本知识。一个数字滤波器可以用系统函数表示为 （3-1）由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线性差分方程为 （3-2）可见数字滤波器的功能就是把输入序列x（n）通过一定的运算变换成输出序列 y（n）。不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h（n）是无限长的，其差分方程如（3-2）所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有（3-1）式的形式，因此在z平面的有限区间有极点存在。3.1.1 FIR滤波器的基本结构FIR滤波器的单位抽样响应为有线长度，一般采用非递归形式实现。通常的FIR数字滤波器有横截性和级联两种。FIR滤波器实现的基本结构有(1)FIR滤波器的横截结构表示系统输入输出关系的差分方程可以写作 （3-3）若具有对称特性，即此FIR滤波器具有线性相位。(2)FIR滤波器的级联型结构将分解成系数二阶因子的乘积形式 （3-4）这时FIR滤波器可用二阶节 的级联结构来实现，每个二阶节用横截性结构实现。这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时可以采用这种结构。3.1.2 IIR滤波器的基本结构（1）IIR滤波器的直接型结构在实际中很少采用上述结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统来实现。（2）IIR滤波器的级联型结构特点系统实现简单，只需要一个二阶系统通过改变输入系数既可以完成;极点位置可单独调整运算速度快各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。缺点不能直接调整零极点，因多个二阶节的零点不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型是最适合的。（3）IIR滤波器的并联型结构优点简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可以实现整个系统；极、零点可单独使用控制、调整，调整、只单独调整了第i对零点，调整、则单独调整了第i对极点；可流水线操作3陈怀琛.数字信号处理教程Matlab释义与实现M.北京电子工业出版社，20083.2 数字滤波器的设计原理数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置，其输入输出都是离散的数字信号，借助于数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输入信号的波形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的实际应用中，数字滤波器往往作为模拟滤波器的一个组成部分。理想滤波器是非因果的，物理上不可能实现。数字滤波器的设计问题就是寻找无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的差分方程和对应的系统函数（两个方程）中的一组系和，是的其性能在某种意义上逼近所要求的特性。IIR数字滤波器的设计方法一般分为下述两类先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成给定指标的数字滤波器。这种方法很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，他不仅有完整的设计公式，还有完整的图表供查阅。这种方法的设计步骤如下将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器再按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器直接在频域或者时域中进行设计，这是一种最优化设计方法。由于要接联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。FIR滤波器的设计方法与IIR滤波器有很大不同，FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器的频率特性作某种逼近得到的。常用的方法有窗函数法，频率取样法和计算机辅助最优化设计法。FIR滤波器的最大优点就是具有线性相位，而设计的IIR滤波器的相位都是非线性的。数字滤波器的设计要经过三个步骤确定指标在设计一个滤波器前，必须有一些指标。这些指标要根据应用确定。模型逼近一旦确定了技术指标就可以利用前面的基本原理和关系式，提出一个滤波器模型来逼近给定的指标体系。这是滤波器设计所要研究所的主要问题。实现上面的两布的结果得到的滤波器，通常是以差分方程、系统函数或者脉冲响应来描述的。根据这个描述，可以用硬件或计算机软件来实现它了。3.3 FIR数字滤波器的设计方法线性相位条件要求滤波器分子系数满足对称性条件。设滤波器的系数长度为N，则这些系数应关于中心点t=n 0=(N-1)/2对称。偶对称时，h(n)=h(N-n-1);而奇对称时，h(n)=-h(N-n-1).再考虑到N可以为奇数或偶数，总共有四种类型的线性相位FIR滤波器。讨论线性相位滤波器频率响应是需要引进幅特性正负号的概念，以往常设幅特性为正数，因为幅特性的反号可以用响特性加减来补偿。当相位特性要求线性，不得随便增减时，幅特性就必须分出正负，称为符幅特性。为了就算符幅特性，需要直接作解析计算，求出频率特性的解析式，并将它分解为幅度和相位特性，即,如果（）满足线性相位条件，这时的A()就是符幅特性。对于长度为N的序列h(n),先考虑两个对称的系数h(n)和h（N-1-n）,它们的傅里叶变换为4 高西全，丁玉美.数字信号处理. M.陕西西安电子科技大学出版社，2008. (3-5)3.3.1 类型，系数对称，N奇数序列h的下标n从0算起，到N-1为止，中点位置是L=(N-1)/2.h(L)是一个孤项，其他可配成L对系数。将他们的符幅特性加起来，得到 (3-6) 为了使四种类型滤波器的公式简明统一，引进两个参数。一个是=（N-1）/2，它就是T值，用以反映延迟的样本或群延迟，它可以是分数。另一个是L=(N-1)/2把T值向下取整，因为要把L用作下标，它必须是整数。当N为奇数时，T=L。在推导中，还注意前一个求和号是从0到L-1，后一个求和号是从0到L，那是把孤项也当成成对相求和，然后再减去一个孤项h(L)。这样做的目的也是使四种类型滤波器的公式统一。显然，为项角项，相角-，它与成严格的线性关系；A（）就是符幅相。 （3-7)可见，其符幅特性由L+1个余弦项叠加组成。n=0时的符幅相为，在频段间波动个周期余弦函数在=0，pi和2pi处都不等于零,因此类型线性相位滤波器既可以用作低通滤波器;也可以用作高通滤波器;且可用作带通和带阻滤波器。3.3.2 类型，系数对称，N偶数如果N为偶数，那么全部系数都可以配对，不会出现中心点的单项，一共有N/2组对称出现的系数，频率特性就成为 （3-8）此时T=（N-1）/2将不是整数，也就是说，对称中心将在两个样本点的中间。其相角特性仍为（）=T，它仍与成严格的线性关系。用整数L=(N-1)/2=N/2-1来表示求和号的上限。得出其符幅特性的表达式 （3-9）可见，它的符幅特性也由L+1个余弦分量构成。这样，不管N为奇数或偶数时，L都是整数，求和的项数都是L+1。由于T=(N-1)/2是分数，所以有余弦分量中都含有一个0.5。在pi处，就会出现符幅特性必定为零的情况。所以类型不能用作高通和带阻滤波器.3.3.3 类型，系数反对称，N奇数当系数序列反对称时，只要把类型结果中的cos 换成sin就得到 （3-10）当N为奇数时，T=L=整数。相特性为（）=/2-（N-1）=/2-T虽然仍与成线性关系，但多了一个常数项/2。注意反对称序列的对称中心n=L处，序列的值h（L）=0.所以可以放入求和号中，得到它的符幅特性为 （3-11）正弦函数在=0，和2处都等于零，因此类型线性相位滤波器的符幅特性在=0，和处都等于零。它不能用作低通，也不能用作高通滤波器。所以不适宜用于选频滤波器。3.3.4 类型，系数反对称，N偶数与类型滤波器相仿，若N为偶数，则共有N/2组数值相同反对称出现的系数，不出现单项，频率特性就成为 （3-12）此处仍有T=（N-1）/2，因此T将不是整数，带有小数部分0.5.故对称中心将在两个样本点中间。它的相角特性为()= /2-T,虽然与呈线性关系，但是多了常数项/2，故不通过原点。类型的滤波器符幅特性为 （3-13）因为L是整数，它的符幅特性也由L+1=N/2个正弦分量构成。因为sin(0)=0,在=0处，符幅特性必定为A（0）=0.这样的特性显然不能用作低通和带阻滤波器，实际上也不适用于选频滤波器。把这四种类型的线性相位滤波器的相角特性和符幅特性用对比的方法画在一张图上5表3-1 四种类型的线性相位滤波器的相位与符幅特性 Ingle V K，Proakis J G. Digital Signal Processing Using MATL AB M，New YorkPWS Publishing Company,1997 符幅特性举例2给出序列h0=3,-1,2,-3构成的四种类型的系数向量h1=3,-1,2,-3,5,-3,2,-1,3;h2=3,-1,2,-3,-3,2,-1,3;h3=3,-1,2,-3,0,3,-2,1,-3;h4=3,-1,2,-,3,03,-2,1,-1;分别求出它们的符幅特性曲线，进行比较。图3-1 符幅特性比对零极点应该从FIR滤波器正幂传递函数来判断。 （3-14）所以它具有与零点数目相同的M个极点，它们集中在z平面的原点处，成为M重极点。可以证明，对于具有对称性的系数向量，如果是上式的分子多项式的根，那么它的倒数也就是这个多项式的根。如果是复数零点，根据实系数多项式的性质，它的共轭复数*也是复数零点；现在又证明了它的倒数1/也是零点。因而倒数的共轭复数*也是复数零点。四个复数零点必成组出线，图 3-2 零极点分布图3.3.5 FIR数字滤波器的窗函数设计方法宋守鹏.数字滤波器设计及工程应用M.江苏江苏大学出版设，2009.窗函数设计法又称之为傅里叶技术设计方法，FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的（0nN-1），只有N个点有值，这N个值被称为滤波器的系数。滤波器的输出y(n)只与当前的输入x(n)和有限个过去的输入x(n-1),x(n-2)x(n-(N-1)有关，其表达式为y(n)=h(n)x(n)+h(1)x(n-1) +h(2)x(n-2)+h(N-1)x(n-(N-1)和次表达式相对应的实现结构可用图3-3来表示图 3-3 实现窗函数法的结构图FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)的Z变换为3 （3-15）利用窗函数设计时，一般是先给出所要求的理想滤波器的频率响应，要求设计一个FIR滤波器频率响应，来逼近。时域内进行的因而先由的傅里叶反变换导出傅里叶系数即 （3-16）这里的傅里叶系数就是理想滤波器的单位脉冲响应，但是直接应用公式（3-15）设计数字滤波器是不可能的，因为是无限长序列，而且是非因果的。所以要用有限长h(n)来逼近来逼近无限长的，我们可以利用一个窗函数序列叫（n）来截取，即 （3-17）然后由h（n）求实际的，即 （3-18） 然后根据分析所设计出的滤波器的幅频特性和相频特性，检验设计结果是否满足要求。设计过程中，窗函数将直接影响滤波器的过渡带带宽和阻带衰减。3.3.6 利用频率取样法设计FIR滤波器以上介绍的窗函数法是一种时域设计方法，但是在一般情况下，滤波器的技术指标都是由频率给出，在频域进行设计更为直接。频率取样法是在频率域对理想滤波器取样，在取样点上设计的滤波幅度值相等，然后根据滤波器的频率特性设计所需的滤波器。假设理想滤波器的频率特性为，对它在02区间内等间隔的取样N个点，即 （3-19）根据频域内插公式，可得 （3-20）对应的频率响应为 （3-21）其中 （3-22）从（3-17）式中可以看出，根据理想滤波频率特性的N个取样值，可以通过差值得到实际设计的滤波器的频率特性，并且所设计的滤波器在取样点上的取值与理想滤波器的值严格相等。这就是频率取样法设计FIR数字滤波器的基本原理。在很多情况下要求设计的滤波器具有线性相位，前面的讨论的滤波器的线性相位条件表述为h(n)= h(N-n-1)。当h(n)=h(N-n-1),且N为奇数时 （3-23）并且幅度函数H（）应该是偶对称的，即， （3-25）在0,2pi区间内对等间隔的取样N个点，即 （3-26）其中 （3-27） （3-28）由式（3-26）可得 （3-29）相位条件与N为奇数时相同。此时，奇对称要求，即并且当h(n)为奇对称，按照同样的方法可以得到幅度和相位应满足的条件。采用频率取样法设计的FIR数字滤波器在阻带内的衰减减小，在实际应用中往往达不到要求。产生这种现象的原因是由于在通带边缘取样点的陡然变换而引起的起伏震荡。增加阻带衰减方法是在通带和阻带的边界增加一些过渡的取样点，从而减小频带边缘的突变，也就减小了起伏震荡，增大了阻带最小衰减。为了构造特性接近理想低通滤波器的实际滤波器，应当使它具备如下特性因果序列有限长度系数对称用长N对称中心在对称中心在的矩形窗与相乘，截取出实际系数序列h(n), （3-30）图 3-4 实际系数序列图3-5为理想滤波器的脉冲响应及其频谱图3-5 脉冲响应及其频谱图3-6 矩形窗函数及其频谱矩形窗截取的实际特性一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。过渡带与N成反比，减小过渡带的措施是增加N；通带内放入波动影响滤波器通带中的信号通过的均匀性；阻带内的波动使某些频率成分在阻带内不能充分抑制，可能使最小衰减不满足技术要求；上述分析说明，增加N对于通带波动和阻带衰减几乎没有影响。矩形窗带来的的阻带衰减为20dB左右，要减小波动只有改变窗函数的形状。增大N将增加滤波器的复杂性和计算时间。3.3.7 其他几种窗函数的介绍 Ingle V K，Proakis J G. Digital Signal Processing Using MATL AB M，New YorkPWS Publishing Company,1997 (1)三角形窗 （3-31）(2)汉宁窗 （3-32）(3)汉明窗 （3-33）Matlab提供的其他窗函数（程序）N=45;n=1:N;beta=5.658; wdrc=boxcar(N);wdbt=triang(N); wdhn=hanning(N); wdhm=hamming(N);wdbl=blackman(N); wdks=kaiser(N,beta); plot(n,wdrc,wdbt,wdhn,wdhm,wdbl,wdks)Legend(rc,bt,hn,hm,bl,ks)%线性标注就可以得到综合表示几种窗函数形状的图图 3-7 窗函数形状综合图形表3-2 各种窗函数的过渡带和波动 FIR的实现是非递归的，总是稳定的；更重要的是，FIR滤波器在满足幅频响应要求的同时，可以获得严格的线性相位特性。线性相位FIR滤波器通常采用窗函数法设计。窗函数法设计FIR滤波器的基本思想是根据给定的技术指标，选择滤波器长度N和窗函数W（n）, 使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。工程中常用的窗函数共有五种，即矩形窗。汉宁窗（hanning）。汉明窗（hamming）。布莱克曼窗（blackman）和凯塞窗（kaiser）下面我们运用FIR函数分别运用5种不同的窗函数来设计滤波器对输入信号为S(t)=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*150*t)进行滤波，要求滤波中建的100Hz频率，采样频率为1000Hz。程序 L=30; N=L-1; f1=0,70,80,120,130,500; f2=f1/500; m=0,0,1,1,0,0; b=FIR2(N,f2,m,boxcar(L); figure(1); h,w=freqz(b,1,512,1000); subplot(2,1,1); plot(f1,m,m-,w,abs(h),b-); subplot(2,1,2); plot(w,angle(h); figure(2); freqz(b,1,512,1000); t=0:0.001:1; sgn=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*150*t); figure(3); subplot(2,2,1),plot(t(1:100),sgn(1:100); y=fft(sgn,512); Pyy=y.*conj(y)/512; f=1000*(0:155)/512; subplot(2,2,2),plot(f,Pyy(1:156); Yo=filter(b,1,sgn); subplot(2,2,3); plot(t(1:100),Yo(1:100); yo=fft(Yo,512); Pyyo=yo.*conj(yo)/512; fo=1000*(0:155)/512; subplot(2,2,4);plot(f,Pyyo(1:156);程序运行后，五种窗函数的结果如下(1)矩形窗其相关参数，其余。幅度频率特性过渡带宽为。旁瓣峰值衰耗为-13dB，最小最带衰耗为-21dB。运行程序结果如下图3-8 实际信号与理想信号对比图理想结果与实际稍有偏差，存在一定失真，这也是无法避免的。图 3-9滤波器幅相频特性图图 3-10 滤波器前后频域对比图(2)汉宁窗其相关参数，其余，幅度频率特性过渡带宽为，旁瓣峰值衰耗为31dB,最小阻带衰耗为-44dB图 3-11滤波器幅相频特性图 图 3-12 滤波器前后频域对比图由图可知，没有完全滤除其他频率，滤波效果不是很好，可以增加阶数至40.(3)汉明窗其相关参数，其余，。幅度频率特性过渡带宽为，旁瓣峰值衰耗为-41dB,最小阻带衰耗为-53dB.图 3-13滤波器幅相频特性图 图 3-14 滤波器前后频域对比图 (4)布莱克曼窗其相关参数为，其余，这是一组升余弦窗函数，升阶M是可选参数。幅度频率特性过渡带宽为，旁瓣峰值衰耗为-57dB，最小阻带衰耗为-75dB.图 3-15滤波器幅相频特性图 图 3-16 滤波器前后频域对比图 (5)凯塞尔窗 相关参数，其余，其中为0阶贝塞尔函数，主瓣宽度参数。图 3-17 滤波器幅相频特性图 图 3-18 滤波器前后频域对比图由上可以看出，运用5种不同窗函数来对滤波器进行仿真设计有着一定的差别。其中，矩形窗函数和汉宁窗函数在设计上不是很完美，而后的三种传函数则效果好很多。3.4 IIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为 （3-34）假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)式(3-34)中,T是采样周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 （3-35）则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。图 3-19 S平面转换到Z平面示意图由（3-35）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 （3-36）这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 ， （3-37）才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 ， （3-38）但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，图3-20。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图 3-20 脉冲不变响应示意图对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。脉冲响应不变法优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。因而，一个线性相位的模拟滤波器通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将