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微细电火花加工数值模拟,微细,电火花,加工,数值,模拟
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铝电解槽热磁耦合问题数值模拟Y. Safa *, M. Flueck, J. Rappaz洛桑联邦理工学院，分析与科学计算研究所，瑞士洛桑1015第8站2006年12月27日初稿；2008年2月4日修订；2008年2月8日被收录；2008年2月29日可网上搜索摘要本文运用一系列偏微分方程对铝电解槽的热磁耦合行为进行了数值模拟。热模型被认为是一个由焦耳效应引起的非线性对流扩散热方程组成的两阶段史蒂芬问题。该磁流体动力领域的主导是纳维-斯托克斯方程和静态麦克斯韦方程组。伪进化组合（切尔诺夫）用于获取电解槽仿真壁架的温度和凝固层剖面的稳态解。利用有限元方法的数值算法来获取流体速度，电势，磁感应和温度。同时也利用了迭代算法和三维数值模拟结果。2008年爱思唯尔公司保留所有权利。关键词：铝电解；切尔诺夫组合；热方程；磁流体力学；壁架；凝固1. 绪论本文研究了由电解槽热磁耦合作用模型引起的相位变化问题。在一个利用霍尔-埃鲁特过程的冶炼池中，金属部分是由三氧化二铝电解融化在熔融冰晶石材质的槽中制造而成的1。该电解槽中产生了多种现象，图1为一个横截面示意图。电解槽中稳定的电流通过铝液在阳极和阴极棒之间产生。送到槽中的电流产生重要的磁场，该磁场连同电解槽中流通的电流共同产生一个维持这两种导电液体耦合运动的拉氏力量作用域。电解槽中会产生磁流体动力学相互作用。另一方面，由槽体中的电阻率引起焦耳效应，热源也随之产生。冰冻层冰冻层电解液阳极块铝液阴极层图1. 铝电解槽横截面所谓的壁架在固态槽壁层上建立。这些壁架能够避免电解槽侧壁腐蚀性点解，并降低电解槽热损耗（见2第23页）。此外，它的轮廓严重影响磁流体动力稳定性，引起铝液和槽体接触面振荡，降低电流效率。因此最佳的层剖面是电解槽侧壁设计的目标之一。冶炼槽内的热凝固问题已经被几个专家解决3-5。据我们所知，在热磁耦合上，该问题一直没有被重视。本文的目的是解决类似的耦合问题。我们期待，关于该问题的详细资料记入在萨法论文集6。数学上，该问题解决了偏微分方程组、麦克斯韦方程组和纳维-斯托克斯方程组的耦合系统，其中，偏微分方程组包含由焦耳效应引起的热方程，麦克斯韦方程组以导电率作为温度的函数。铝液和和槽体之间的接触面是未知的。壁架被认为是电绝缘体，热模型是静止的两阶段史蒂芬问题。本文大纲如下：第2节介绍物理模型，第3节给出算法，第4节得出数值计算结果。2. 模型为了介绍该模型，我们首先描述一些几何和物理量。2.1. 概括描述几何图形定义如图1所示。下面介绍物理符号：l ：流体和固态层，l ：电极，l ：表示电解槽的域另外，我们定义如下接触面：l ：铝液和槽体之间的自由接触面，未知，l ， 1,2，l ：电极的外边界。我们必须处理的未知物理场列举如下：流体动力场：l ：中的流速场， 1,2，（固态层中为0），l ：压力。电磁场：l ：磁感应场，l ：电场，l ：电流密度。热场：l ：总热能，l ：温度。材料属性定义如下：l ：密度，l 与：槽体内、外导电率，l ：流体粘度，l ：空隙导磁率，l ：热导率，l ：比热容，l ：潜热。2.2. 物理假设该模型需要以下基本假设：1. 各流体不相融，不可压缩，并且遵守牛顿定律。2在每个域内，= 1,2，各流体遵守静态纳维-斯托克斯方程组。3电磁场满足静态麦克斯韦方程组，此外，欧姆定律应该在整个电解槽内有效。4槽外的电流密度已知（即阴极棒内的电流）。5导电率是液体和电极部分的温度的函数。6粘度，密度和比热容与温度无关。7流体和固体的体积为给定值（质量守恒）。8电解槽中的流产生的焦耳效应提供唯一的热源。9忽略化学反应的影响7，马朗戈尼效应8,9，表面张力以及气流的存在。2.3. 流体动力学问题在这一部分，我们考虑温度场和电磁场，并且磁感应场为已知。我们选择的用的参数化形式表示铝液和槽体间的未知接触面，其中通常是一个与铝阴极界面的参数化相对应的矩形区域。考虑到，我们用表示，和的相互关系。根据假定7得出如下关系：， 其中表示铝的体积。的单位法线指向，为。我们定义水动力场的标准方程组如下：， （1）， （2）， （3）其中 。这里(.,.)通常是R3的普通无向积。方程（1）-（3）对应于第1和第2条假设。我们通过引进包含流体的域、的边界条件完成了上述方程组。对于任意场，表示穿过的的跳跃，即。各域中，和具体为：， （4）， （5）。 （6）中的流体部分只是所有域凝固前的一个子域。为了解决一个固定域中的流体动力学问题，我们使用包含惩罚函数的“虚拟域”方法。之后会定义液体和固体中的速度和压力。我们将术语添加到纳维-斯托克斯方程，是温度函数的固相组分。函数由科泽尼定律给定：，其中，为平均孔径，为通过实验确定的常量（见10）。修改方程（1）为 （7）液相状态下为0，上述公式简化为一般的纳维-斯托克斯方程。相对于其他状态，糊状区内可能很大，并且上述方程模拟了达西定律：。当时，我们得到，并且固态区内为0。最终得到流体动力学问题PHD：已知，和，求得，和，并且满足以下条件， （8）， （9）， （10）， （11）， （12）， （13）。 （14）2.4. 电磁问题我们假定速度场及温度场已知。根据法拉第定律，我们令为0，电场由给定，其中表示在中计算得到的电势场。我们仍然用表示速度的连续延拓（在中为0），同时考虑到安培定律：令以及欧姆定律：在中，因此，我们给出电守恒定律： 。我们用表示运算，其中是的外部单位法线。关于电势，我们介绍以下边界条件：，其中是已知的阳极外边界电流密度。作为电流的一个函数，磁感应强度可以利用毕奥-萨伐尔关系求得：，其中为由槽体外电流产生的某些磁感应场。电磁问题PEM表达如下：和已知，通过以下公式求得，和， （15）， （16）， （17）， （18）， （19）。 （20）2.5. 温度问题我们假定流体动力场和电磁场已知。我们正在寻求的稳定解将在这里作为一个随时间变化的热方程被求得。因此，在本小节我们介绍了进化的热模型。在对流扩散问题中，凝固前（固液分界线）的位置事先未知，因此需要作为解法的一部分来确定。该问题被广泛地称为“史蒂芬问题”，并且是高度非线性的。为了克服有关史蒂芬接触面条件的非线性困难，我们定义一个焓函数，它表示每单位体积的物质的总热量。焓可以用温度，潜热和固相分数表示，即：。 （21）由于焓为单调函数，我们引进函数，由以下关系定义： 。 （22）函数是由在列表中的值经过数学处理（插值法）计算得出的，上述列表值与由方程21得出的反比关系式相对应。通过这种关系，我们可以将该问题表示成有关温度和焓的史蒂芬问题，形式如下：， （23）， （24）该问题是一个非线性对流扩散系统。表达式用表示的数积，为仅由焦耳效应提供的热源。表达方式如下： 。 （25）考虑到分配性，温度-焓规划的优势就是仔细跟踪固液界面消除位置的必要性，以及可以用标准数值技术来解决相变问题。温度遵守罗宾边界条件： ， （26）其中是在指向的单位外法线的方向导数，是由空间和温度决定热传递系数，是外界温度。热传递是由于对流和辐射。而辐射是由如下表达式间接考虑：其中，和是由通过实验估算的正值。的初始条件是假定的。对于一个给定的表示积分时间的标量值，表达式如下：。温度问题PTh表达如下：，和已知，通过以下公式求得和：， （27）， （28）， （29）。 （30）2.6. 完整问题我们刚刚描述了流体力学，电磁和热力学的问题。在每个具体域中，我们都假定其他域已知。我们要解决的问题就是找到同时满足上述三个问题的速度，压力，电势，焓和温度；函数，和均给定，并且已知常量，和。3. 数学方法上述的数学问题的数值解是基于一个迭代过程的，在迭代过程中，我们交替进行未知的三种域的计算：流体域，电磁域和热域。在本节中我们提出了PHD，PEM和PTh三种问题的迭代方案。包含用有限元法进行空间离散的全局“伪进化”算法被用来解决三域耦合问题。3.1. 流体动力场计算流体动力学问题通过迭代求解。在每一个求解步骤中，我们首先解决接触面无正常受力平衡条件的固定形状问题，然后利用非平衡法向力更新接触面位置。解决替代应用问题的两个步骤如下：l 第一步：通过给定的几何结构，并且考虑到接触条件，解决流体动力学问题如下：， 为的切向量，该问题之后会通过弱公式化简单表达。l 第二步：更新接触面位置，以便验证接触面所受法向力的平衡，通过以下表达式选择：。这里我们用表示的Oz轴的单位向量，用表示通过以下条件求得的常量：。利用迭代法计算，和，上述函数的函数值通过之前的迭代求得。设定和，并且通过下列表达式定义求解步骤：，（31）， （32）， （33）， 为的切向量， （34）， （35）， （36）。 （37）注意到这种算法的停止条件是基于的规范估计，它必须小于公差。3.2. 电磁场计算磁感应强度直接取决于电流，间接取决于位势场，对于一个已知速度场我们要计算出这些电磁场的值。在求解的步骤中，我们用迭代法确定。迭代法中，利用公式（15）、边界条件（16）-（18）和的值计算，利用公式（19）相继计算。随后，我们利用毕奥萨伐尔定律求得作为的函数的的值。求解步骤：， （38）， （39）， （40）， （41）， （42）。 （43）停止条件是基于的规范估计，它必须小于公差。3.3. 热场计算如前所述，我们用伪进化类型作为收敛于温度问题（27）-（30）稳定解的数学均值。在运用（27）-（30）时，利用半隐式法离散化得到：， （44）其中，和为在时，和的值；为离散化的时间间隔。为了关闭系统（44），我们利用切诺夫方法，即：， （45）其中是正松弛参数。通过在（44）中替换（45），我们得到一个计算时间时温度的方法，即：， （46）只要满足下列条件，该方法就是稳定的11： 。在上面的式子中，不是在时间时糊状区温度的良值，其良值可从中求得。为了避免可能出现的误解，用表示前者。在时间离散化形式中，我们假定已知在时间区间内的，另外用以下方法计算求解步骤中的，和：， （47）， （48）， （49）。 （50）3.4. 伽辽金构想利用伽辽金构想对三套方程组，以及进行数值求解，该方法适用于在一个四面体网格上进行一阶分段多项式有限元法。图.2表示用于计算的四面体网格。利用经典的稳定有限元法（见12）对纳维-斯托克斯问题进行数值求解，用含一阶分段多项式的标准有限元方法对位势问题进行数值求解。该小节中，我们把重点放在与热问题相应的有限元方法上。考虑到局部沛克莱数的大小（在本例中大约为1000），我们使用SUPG稳定法（流线迎风彼得罗夫-伽辽金格式）13。定义有限元空间，其中用四面体表示网格重叠。与方程集（47）-（50）对应的有限元由下列条件给定：找到满足 图2. 域四面体网格， （51）， （52）， （53）其中表示网格和的插值，公式如下：， （54）， （55）其中是的大小，变量为局部沛克莱数。我们分别用和表示时间间隔内的导热系数和传热系数。注。很明显，焓在先验未知的凝固前有一个突增，但我们可以用连续函数子空间内的近似取代。因此，该近似值表示了在一个精确焓值突增的小区间内的焓值差。我们注意到，即使建立了很好的离散问题，逼近收敛于的焓近似值仅在规则下为真。4. 数值计算结果我们使用广义最小余数法解决流体动力学问题和温度问题的矩阵系统。另一方面，由于与电场问题相关的该矩阵系统是对称且正定的，我们利用代数多重网格法AMG或共轭梯度法CG来解决该问题。 利用计算机（奔腾（R）4，CPU 2.80GHz，RAM 2GB）进行磁-热计算，10小时内可获得全局算法的收敛性。电势计算相关结果见图.3。图.4显示了槽内温度分布。壁架模型见图.5。我们可清晰观察到固化前一个小区间内由SUPG稳定法得出的相关数值扩散的影响。值得指出的是，这张图片与代表速度场的图片（图6）具有一致性，特别是壁架大的位置与各场中数值小的位置也是一致的。很容易观察到在液体分数小于1的部分域内，速度场的数值计算结果符合达西定律。这表明，在流体动力学模型中，利用含有速度场惩罚值的“辅助域”方法是有效的。用多个元素对流体层沿深度进行离散化，以便更准确地表示流体动力场。另外如前所述，界面铝-槽接触面的节点可以沿垂直线移动，以保证了垂直受力平衡（见第3.1节第2步）。液体深度误差的主要误差值是6。在铝-槽水平接触面上，我们取得最高的对流效果，最佳壁架厚度见图.5。保证总散热量与内部产热量的一致性是很重要的。为了保证结果与槽稳态条件相一致，关键是保证实现上述条件。总散热量等于各部分（其中表示槽中电流穿过的各部分数量）产生的焦耳热之和：。总散热量相当于槽边界处的对流耗散：。图3. 槽内电势结果图4. 槽内温度结果图5. 壁架内液体分数图6. 固化前速度场（上图）和固化后速度场（下图），平均值=0.8cm/s图7. 壁架模型和电热计算的液体分数焦耳总散热量的数值误差为2.5。该误差值相当于槽切片内使用有限元分析代码进行电热计算的误差，见14。使用另一种方法求得壁架模型。该方法依赖于无速度场的电热计算。利用金属槽体内的人工导热系数进行对流效应模拟。对比图.5，求得对称壁架如图.7所示，从而更易观察固体壁架结构内速度场的影响。5. 结论这项工作是在前人研究基础上的延伸（15，16），目的在于引出判断霍尔-埃鲁特电解槽内流体运动稳定与否的标准。在上面提到的参考文献中，这些标准是从磁流体动力学线性方程组定态解的频数分析得到的。它产生于 15 和16中进行的数值研究，这些标准的稳定性在很大程度上依赖于求得的定态解的精确度。精确度不仅取决于正确的数值方法，也取决于电解槽特征表述与模型的妥善性。本文中，壁架模型和速度场的温度分度影响已考虑在内。通过观察分析上述结果，得到以下结论：流体动力场的影响是一个决定电解槽热行为的重要因素。从图.5和图.7中可以看到，速度场对壁架形状有很大的影响。忽略流体应力张量对壁架的侵蚀作用完成的计算。该问题应在将来解决。虽然处理多域相互作用问题有很大难度、几何条件也很复杂，切尔诺夫方法在解决热磁力耦合问题上很稳定。最后，我们注意到，多个作者进行了热膨胀影响下的铝电解槽钢壳热-机械形变研究19-21。在这些研究中从未有热磁耦合的计算。本文中所示温度场计算对于之后由萨法等人（见22）为展示热对流对槽体结构力学的影响以及速度场和钢壳机械变形的相关性而进行的弹性热计算而言是富有成效的。致谢作者衷心感谢瑞士国家科学基金会和加拿大铝业公司的支持。参考文献1 P. 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