北师大版必修一 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学案.doc

6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义(重点)；2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型(重、难点)预习教材p98103完成下列问题：知识点一三种函数模型的性质1当a1时，指数函数yax在r上是增函数，对数函数ylogax在(0，)上是增函数；当0a0时，在(0，)上是增函数【预习评价】1若x(1,2)，则下列结论正确的是()a2xxlg x b2xlg xxcx2xlg x dxlg x2x解析x(1,2)，2x2x(1，)，lg x(0,1)2xxlg x答案a2当x4时，a4x，blog4x，cx4的大小关系是_解析三个已知函数按增长速度由慢到快排列为ylog4x，yx4，y4x，当x4时，blog441，ac44，所以a，b，c的大小关系是bca答案bc1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快当x0，n1时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快【预习评价】1在函数y3x，ylog3x，y3x，yx3中增长速度最快的是_解析由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y3x的增长速度最快答案y3x2如图所示曲线反映的是_函数模型的增长趋势解析由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度答案幂函数或对数型知识点三三种函数的增长对比对数函数ylogax(a1)增长最慢，幂函数yxn(n0)，指数函数yax(a1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有axxnlogax【预习评价】1在区间(0，)上，当a1，n0时，是否总有logaxxn1，n0，xx0时，logaxxnx0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果3判断某个增函数增长快慢的依据是什么？提示依据是自变量每改变一个单位，函数值增长量的大小增长量越大，增长速度越快题型一函数模型的增长差异【例1】(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()ay10 000x bylog2xcyx1 000 dyx(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数yx增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案(1)d(2)y2规律方法在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxn0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.典例迁移题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例3】函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图像交于点a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 011)g(2 011)又因为g(2 011)g(6)，所以f(2 011)g(2 011)g(6)f(6)【迁移1】(改变条件)若将“函数f(x)2x”改为“f(x)3x”，又如何求解(1)呢？解由图像的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：c1对应的函数为g(x)x3，c2对应的函数为f(x)3x【迁移2】(改变问法)本例条件不变，(2)中结论若改为：试结合图像，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小解因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x18x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 015)g(2 015)又因为g(2 015)g(8)，所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8)【迁移3】(改变条件，改变问法)函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示：(1)试根据函数的增长差异指出曲线c1，c2分别对应的函数(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)曲线c1对应的函数为g(x)0.3x1，c2对应的函数为f(x)lg x(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，g(x)f(x)规律方法由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数课堂达标1下列函数中，增长速度最慢的是()ay6x bylog6xcyx6 dy6x解析对数函数增长的速度越来越慢，故选b答案b2某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4 ，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图像大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意得，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图像大致为d中图像答案d3当a1时，有下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是_答案4某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_解析设解析式为y xb( 0)，由解得 ，b50，yx5