北师大版必修一 函数的单调性(一) 学案.doc

3函数的单调性(一)学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(重、难点)预习教材p3639完成下列问题：知识点一增函数与减函数的定义1增函数定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1，x2a，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间a上是增加的；有时也称函数yf(x)在区间a上是递增的图示：如图所示2减函数定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两数x1，x2a，当x1f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间a上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间a上是递减的图示：如图所示【预习评价】1已知(a，b)是函数yf(x)的单调增区间，且x1，x2(a，b)，若x1x2，则有()af(x1)f(x2) d以上都正确解析根据函数单调性的定义可得正确答案答案a2函数yf(x)的图像如图，根据图像函数yf(x)的增区间为_，_；减区间为_，_解析由图像可知函数yf(x)的增区间为1,0)，1,2 ，减区间为2，1)，0,1)答案1,0)1,2 2，1)0,1)知识点二函数的单调区间与单调性(1)如果yf(x)在区间a上是增加的或减少的，那么称a为单调区间(2)定义：如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称yf(x)在这个子集上具有单调性如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数【预习评价】1若函数f(x)在定义域内的两个区间d1，d2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成d1d2吗？提示单调区间不能取并集，如y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减2任何函数在定义域上都具有单调性吗？提示函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质有的函数不具有单调性，例如：函数y再如：函数yx1(x )，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性题型一确定(求)函数的单调区间【例1】(1)如图所示的是定义在区间5,5 上的函数yf(x)的图像，则函数的单调递减区间是_、_，在区间_、_上是增函数(2)函数y的单调递减区间是_解析(1)观察图像可知，yf(x)的单调区间有5，2 ，2,1 ，1,3 ，3,5 其中yf(x)在区间5，2 ，1,3 上是增函数，在区间2,1 ，3,5 上是减函数(2)y的图像可由函数y的图像向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(，1)和(1，)答案(1)2,1 3,5 5，2 1,3 (2)(，1)，(1，)【例2】画出函数yx22|x|1的图像并写出函数的单调区间解y即y函数的大致图像如图所示，单调增区间为(，1 ，0,1 ，单调减区间为1,0 ，1，)规律方法1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确2函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域3一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接【训练1】作出函数f(x)的图像，并指出函数的单调区间解f(x)的图像如图所示由图像可知：函数的单调递减区间为(，1 和(1,2 ；单调递增区间为2，)题型二函数单调性的判定与证明【例3】求证：函数f(x)x在(0,1)上是减函数证明设任意的x1，x2(0,1)，且x1x2，所以f(x2)f(x1)x2x1(x2x1)因为0x1x21，所以x1x210，x2x10，所以0，所以f(x2)f(x1)所以函数f(x)x在(0,1)上是减函数规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性【训练2】已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数证明任取x1，x2(1，)，且x1x11，x2x10，(x11)(x21)0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，)上为减函数.互动探究题型三函数单调性的应用【探究1】已知函数f(x)ax22x2.若f(x)在区间(，4)上为减函数，求a的取值范围解由f(x)在区间(，4)上为减函数，说明(，4)只是函数f(x)的一个减区间当a0时，f(x)2x2在(，4)上单调递减，故成立当a0时，由得0a.综上可知a的取值范围是【探究2】已知函数f(x)是r上的增函数，则a的取值范围是_解析因为f(x)在r上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(，1 和(1，)上都是单调递增的，并且端点处x1的函数值12a5，即a3；f(x)x2ax5的对称轴为直线x，且在(，1 上单调递增，所以1，即a2；f(x)在(1，)上单调递增，所以a0.综上所述，a的取值范围是3，2 答案3，2 【探究3】已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解由题意可知解得0a1.因为f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a0，y0，都有f(xy)f(x)f(y)，且满足f(2)1(1)求f(1)，f(4)的值；(2)求满足f(2)f(x3)2的x的取值范围解(1)令xy1，得f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0，令xy2，得f(4)f(2)f(2)112，所以f(4)2(2)由f(2)1及f(xy)f(x)f(y)可得：211f(2)f(2)f(4)因为f(2)f(x3)2，所以f(2(x3)f(4)又函数f(x)在定义域(0，)上是单调增函数，所以解得3f(b)ab，单调减函数f(x)中f(a)f(b)ab，去掉符号“f”，此时特别注意a，b要在给定的单调区间内课堂达标1下列函数中，在(，0 内为增函数的是()ayx22 bycy12x dy(x2)2解析yx22在(，0 上是减函数，y在(，0)内是减函数y12x在r上为增函数，所以在(，0 是增函数y(x2)2在(，2)上是增函数，在(2，)上是减函数答案c2若函数f(x)在r上单调递增，且f(m)n bmn cmn dmn解析因为f(x)在r上单调递增，且f(m)f(n)，所以mf(2m1)，则实数m的取值范围是_解析由f(m1)f(2m1)且f(x)是r上的减函数，得m10答案m|m05利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数证明任取x1，x2(1，)且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x110，x210，所以0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以y在(1，)上是减函数课堂小结1对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2)(4)并不是所有函数都具有单调性若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性2单调性的证明方法证明f(x)在区间d上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1、x2d且x1x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果