反函数与图像性质教程文件.ppt

反函数 如果在某个变化过程中有两个变量X和Y 并且对于X在某个范围内的每一个确定的值 按照某个对应法则 Y都有唯一确定的值和它对应 那么Y就是X的函数 X就叫做自变量 X的取值范围称为函数的定义域 和X的值对应的Y的值叫做函数值 函数值的集合叫做函数的值域 函数的定义 记为 y f x R R 唯一确定 y x y 完成下列填空 1 0 唯一确定 y 反函数 记为 反函数的一般定义参见课本P 60第二段 的反函数 记为 在 1 中 我们称新函数 为原函数y f x 2x的 改写为 改写为 反函数与原函数的关系 原函数 表达式 定义域 值域 y f x A C 反函数 y f 1 x C A 例 求下列函数的反函数 解 1 2 3 4 2 求反函数的步骤 概念表明 也就是说 反函数定义是一种生成性定义 体现了反函数的获得的过程 y f x x A x y C 反解 判断 x y C 对调 y x C 知识应用与解题研究 反函数的练习 1 x 0 解 0 1 0 y 1 解得 1 x 0 由 1 x 0 的反函数 是 0 x 1 0 x2 1 0 1 x2 1 5 是否任何一个函数都有反函数 1 函数的定义域是 值域是 如果由解出x 对于y在 0 上任一个值 通过式子x在R上有 值和它对应 故x y的函数 这表明函数 没有反函 并非所有的函数都有反函数 问 怎样的函数才具有反函数呢 连续的单调函数一定有反函数 互为反函数图像间的关系 例1 求函数y 3x 2的反函数 并画出原函数和反函数的图象 解 y 3x 2 函数y 3x 2 x R 的反函数为y x x R 二 新授课 一 例题讲解 已知函数的图像利用对称性可以画出它的反函数的图像 应用思路 原函数和反函数的关系 原函数和其反函数的图象关于直线y x对称 若两个函数的图象关于直线y x对称 则它们互为反函数 原函数过M a b 则y f 1 x 过M b a 总结 M a b 与M b a 两点关于直线y x对称 注意 例2 求函数y x3 x R 的反函数 并画出原来的函数和它的反函数的图象 解 二 反函数中应注意的几个问题 y f x 与x f 1 y 是定义上的反函数 它们的图像相同 y f x 与y f 1 x 是应用上的反函数 它们的图像关于直线y x对称 辨清y f x y f 1 x x f y x f 1 y 间的关系 两图像关于直线y x对称 不一定是互为反函数的图像 互为反函数在各自的定义域内单调性一致 y f x 1 的反函数不是y f 1 x 1 而是y f 1 x 1 y f x 存在反函数 则f 1 f x x f f 1 x x 为研究 原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x上 这个课题 我们可以分为三步进行研究 证明 设点 a b 是f x 的图象与其反函数的任一交点 由于原函数与反函数图象关于直线y x对称 则点 b a 也是f x 的图象与其反函数图象的交点 且有b f a a f b 若a b时 交点显然在直线y x上 若a b且f x 是增函数时 有f b f a 从而有b a 矛盾 若b a且f x 是增函数时 有f a f b 从而有a b矛盾 故有a b 若a b且f x 是减函数时 有f b f a 从而有a b 成立 此时交点不在直线y x上 同理b a且f x 是减函数时 有f a f b 从而有a b 成立 此时交点不在直线y x上 1 如果两个函数的图象有交点 则交点或者在直线y x上或者关于直线y x对称 2 如果原函数是定义域内的单调递增函数 它的图象如果与其反函数的图象相交 那么交点一定在直线y x上 3 如果函数f x 是减函数 并且f x 的图象与其反