北师大版必修一 2. 1 指数函数 指数函数性质的基本应用 教案.doc

指数函数性质的基本应用【考点精讲】高考中对指数函数的考查，往往突显在新概念、新定义、新情景中，题目除最基本问题外，还注重考查一些小、巧、活的问题，突出考查思维能力和化归等数学思想。1. 比较大小（同底数、不同底数）。2. 指数在实际中的应用。3. 指数函数的奇偶性。【典例精析】例题1 ，的大小关系是（）a. b. c. d. 思路导航：同底数的幂利用（a0，a1）的单调性比较，不同底数的幂通过“中间值”比较大小。答案：在本题中，指数都为分母为3的分数，因此我们可以将指数都化为整数再比较大小。， ，故选a。例题2 已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f（x）a1x2b1x6，g（x）a23xb2，（a1，a2，b1，b2r）。（1）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；（2）在同一直角坐标系下画出函数f（x）与g（x）的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况。思路导航：（1）先根据条件结合函数模型，求得函数，进而再求相应的函数值。（2）一个二次函数型，一个是指数函数型，可按照提供的几个已知点，结合模型特点作出图象，根据图象找出相等点来，图象在上方的为利润大，在下方的为利润小。答案：（1）依题意：由，有，解得：a14，b14f（x）4x24x6；由，有，解得：a2，b25g(x) 3x53x15。所以甲在今年5月份的利润为f（5）86万元，乙在今年5月份的利润为g（5）86万元，故有f（5）g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等。（2）作函数图象如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x1或x5时，有f（x）g（x）；当1x5时，有f（x）g（x）；当5x12时，有f（x）g（x）。例题3 已知定义域为r的函数f（x）是奇函数。（1）求a，b的值；（2）若对任意的tr，不等式f（t22t）f（2t2 ）0恒成立，求 的取值范围。思路导航：（1）f（x）是定义在r上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f（0）0，f（1）f（1）。（2）可考虑将t22t，2t2 直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式，也可考虑先判断f（x）的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式。答案：（1）因为f（x）是r上的奇函数，所以f（0）0，即0，解得b1，从而有f（x）。 又由f（1）f（1）知，解得a2。（2）方法一：由（1）知f（x），又由题设条件得即1，因底数21，故3t22t 0。上式对一切tr均成立，从而判别式412 0，解得 。方法二：由（1）知f（x），由上式易知f（x）在r上为减函数，又因为f（x）是奇函数，从而不等式等价于。因为f（x）是r上的减函数，由上式推得。 即对一切tr有。从而412 0，解得 。【总结提升】1. 比较大小的常用方法：（1）利用函数的单调性比较；（2）作差法或作商法比较；（3）媒介法；（4）图象法。2. 指数式的大小比较问题，主要有以下几种：（1）同底数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小。（2）指数幂与1的比较：当x0，0a0，a1时，1；当x1或x0，0a1时，1。（3）比较不同底数幂的大小，利用中间量法，常借助中间值0或1进行比较。（4）对于底数不同，指数相同的指数幂，利用图象来比较大小。指数函数性质的基本应用1. 求函数yf（x）（）x（）x1，x3，2 的值域。2. 曲线c1、c2、c3、c4分别是指数函数ya x、yb x、yc x和yd x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（）a. ab1cdb. ab1dcc. ba1cdd. ba1d0，且a1）的单调区间和值域。6. 函数y的单调递增区间是（）a. （1，）b. （，1）c. （1，3）d. （1，1）指数函数性质的基本应用1. ，57 解析：将（）x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解。f（x）（）x 2（）x1，x3，2 ，（）2（）x（）3，即（）x8。设t（） x，则t8。将函数化为f（t）t 2t1，t，8 。f（t）（t）2，f（）f（t）f（8）。f（t）57。函数的值域为，57 。2. d 解析：首先可以根据指数函数单调性，确定c1，d1，0a1，0b1，在y轴右侧令x1，对应的函数值由小到大依次为b、a、d、c。故应选d。3. （，1）（1，）解析：如果此函数是减函数则0a210，a211时，yf（t）a t递增，yfg（x） 在区间（，1 上递增，在区间1，）上递减。当x1时，y maxa3，又ya t0，函数的值域为（0，a3 。当0a1时，yf（t）a t递减，yfg（x） 在区间（，1 上递减，在区间1，）上递增，当x1时，ym