北师大版必修一 二次函数性质的再研究 学案.doc

4二次函数性质的再研究学习目标1.理解yax2与ya(xh)2 (a0)及yax2bxc的图像之间的关系(重点)；2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴(重点)；3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质(重、难点)；4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值(重、难点)预习教材p4147完成下列问题：知识点一二次函数的定义形如yax2bxc(a0)的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项解析式yax2bxc(a0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式：ya(xh)2 (a0)；零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式【预习评价】1函数yx22x2的图像的顶点坐标是_解析yx22x2(x1)23，故所求顶点坐标为(1，3)答案(1，3)2二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_解析依题意可设f(x)a(x2)21(a0)，又其图像过点(0,1)，4a11，af(x)(x2)21f(x)x22x1答案f(x)x22x1知识点二二次函数的图像变换1首先将二次函数的解析式整理成顶点式ya(xh)2 (a0)，再由二次函数yx2的图像经过下列的变换得到：(1)将函数yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数yax2的图像(2)将函数yax2的图像向左(h0)或向右(h0)或向下( 0a0图像定义域xr值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减图像特点对称轴：x；顶点：【预习评价】1函数y2x1在1,2 上的最大值是()a3 b4 c5 d1解析因为y2x1为增函数，所以y2x1在1,2 上递增，所以ymax2215答案c2函数f(x)x24x3，x1,4 的最小值为_解析因为f(x)在1,2 上是减函数，在2,4 上是增函数，所以f(x)的最小值为f(2)1答案1题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，求二次函数的解析式解法一利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7法二利用二次函数的两根式由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1(a0)又函数有最大值8，所以8解得a4故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7法三利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，即m又f(x)的最大值为8，n8f(x)a28f(2)1，a281，解得a4f(x)4284x24x7故所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7规律方法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求解(1)一般式：yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式，然后列出三元一次方程组并求解(2)顶点式：ya(xh)2 (a，h， 为常数，且a0)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，且a0)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常将函数的解析式设为两根式【训练1】已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式解设f(x)a(x1)2 (a0)，由题意得f(1)13，f(2)28，则有解得a3， 1，所以f(x)3(x1)21，即f(x)3x26x4题型二二次函数的对称性【例2】如果函数f(x)x2bxc关于x2对称，那么()af(2)f(1)f(4)bf(1)f(2)f(4)cf(2)f(4)f(1)df(4)f(2)|12|22，故有f(4)f(1)f(2)法二f(x)x2bxc关于x2对称，b4，又f(4)4244cc，f(2)2242cc4，f(1)1241cc3，f(4)f(1)f(2)答案a规律方法对称轴是二次函数的一个重要性质，一般地函数关于xa对称，有以下几种等价说法：(1)f(ax)f(ax)f(x)关于xa对称；(2)f(x)f(2ax)f(x)关于xa对称；(3)f(mx)f(nx)(其中mn2a)f(x)关于xa对称【训练2】二次函数f(x)x2ax对任意xr，总有f(1x)f(1x)，则实数a_解析对任意xr，总有f(1x)f(1x)，函数f(x)的对称轴是x1，则1，a2答案2题型三二次函数的单调性【例3】函数yx2bxc在区间(，1)上单调递减，则b的取值范围是()ab2 bb2cb2 db0恒成立，试求实数a的取值范围解法一f(x)0对x1，)恒成立，等价于x22xa0对x1，)恒成立设yx22xa，x1，)，则y(x1)2a1在1，)上是增函数，从而ymin3a于是当且仅当ymin3a0，即a3时，f(x)0对x1，)恒成立，故实数a的取值范围是(3，)法二f(x)0对x1，)恒成立，等价于x22xa0对x1恒成立，即ax22x对x1恒成立令x22x(x1)21，其在1，)上是减函数，所以当x1时，max3.因此a3故实数a的取值范围是(3，)规律方法求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在区间m，n 上的最值的类型(1)若对称轴x在区间m，n 内，则最小值为f，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若n，则f(x)在m，n 上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)课堂达标1已知一元二次函数yx22x4，则函数()a对称轴为x1，最大值为3b对称轴为x1，最大值为5c对称轴为x1，最大值为5d对称轴为x1，最小值为3解析由yx22x4(x1)25，知对称轴为x1，最大值为5答案c2函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则()am2 bm2 cm1 dm1解析函数f(x)x2mx1的图像对称轴为x，且只有一条对称轴，所以1，即m2答案a3函数y2x2x为增函数的区间是_解析函数y2x2x22的图像的对称轴是直线x，图像的开口向下，所以函数值在对称轴x的左边是增加的答案4函数f(x)2x26x1在区间1,1 上的最小值是_，最大值是_解析f(x)22在1,1 上为减少的，当x1时，f(x)min3；当x1时，f(x)max9答案395试求函数y2x22，xn 的最小值解因为xn ，所以x21，所以y2x224，即y2x22在xn 上的最小值为4，此时x1课堂小结1画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点：“一线”是指对称轴这条直线：“一开口”是指抛物线的开口方向2二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到3解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2 的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论4对于二次函数f(x)a(xh)2 (a0)在区间p，q 上的最值问