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专题十一 临界和极值问题9课时1 临界问题课题综述当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件解答临界问题的关键是找临界条件许多临界问题，题目中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给出了明确的暗示，也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时会发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘内涵，找出临界条件 解答临界问题的方法一般有两种，一是以定理、定律为依据，先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件，同时要特别注意可能出现的多种情况互动探究例1例1、如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为（0，所以当E7.5104V/m时小球将始终沿水平面做匀加速直线运动经检查，计算无误该同学所得结论是否有不完善之处？若有请予以补充例7例7、如图所示，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，AB、AC、BD为磁场的边界，AB长为L，AC、BD足够长位于AB的中点O是一个能向纸面内发射质量为m、电量为q的正粒子的粒子源，粒子的速度方向与AB成30角要使粒子能从AC边射出磁场，粒子从粒子源射出的速率必须满足什么条件例8例8、如图所示，ABC是一块玻璃直角三棱镜的主截面，已知光从该玻璃到空气的临界角C=55当一束光垂直于BC面射到棱镜上时，画出在各个面上反射、折射的光路图课堂反馈反馈1、在原子物理学中，常用电子伏特（符号是eV）作为能量的单位当光子能量大于E0（E0=1.022MeV）时，就可能有电子对生成，其中E0的能量转化为一对正负电子，余下的能量变成电子对的动能已知普朗克常量h = 6.6310-34Js求：（1）求电子的质量m？（2）要能生成电子对，光子的频率必须大于多少（结果保留两位有效数字）？（3）若光子的频率为f，生成的电子速度v为多大？（结果用m，h，E0，f表示）反馈2、在天体演变的过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可能形成中子星（电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子），中子星具有极高的密度（1）若已知某中子星的密度为1017kg/m3，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动，试求该中子星的卫星运行的最小周期（2）中子星也在绕自转轴自转，若某中子星的自转角速度为6.2830r/s，为了使该中子星不因自转而被瓦解，则其密度至少应为多大？（假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球状星体，引力常量G=6.6710-11Nm2/kg2）达标练习1、电子中微子可以将一个氯核转变为一个氩核，其核反应方程式为，已知核的质量为36.95658u，核的质量为36.95691u，的质量为0.00055u，1u质量对应的能量为931.5MeV根据以上数据，可以判断参与上述反应的屯子中微子的最小能量为（ A ）A0.82 MeV B0.31 MeV C1.33 MeV D0.51 McV2、相距很远的两个分子，以一定的初速度相向运动，直到距离最小在这个过程中，两分子间的分子势能（ D ）A一直增大 B一直减小 C先增大，后减小 D先减小，后增大达标33、如图所示，M为固定在桌面上的木块， M 上有一个3/4圆弧的光滑轨道abcd，a为最高点，bd为其水平直径，de面水平且长度一定，将质量为m的小球在d点的正上方高h处从静止释放，让它自由下落到d点切入轨道内运动，则（ ACD ）A在h为一定值的情况下，释放后，小球的运动情况与其质量的大小无关B只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可以使小球落到轨道内，也可以使小球落到de面上C无论怎样改变h的大小，都不能使小球通过a点后又落回到轨道内D使小球通过 a点后飞出de面之外（e的右边）是可以通过改变h的大小来实现的图（1）图（2）达标44、用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为，线的张力为T，则T随2变化的图象是图（2）中的（ C ）acbdEO达标55、如图所示，在水平方向的匀强电场中，绝缘细线的一端固定在O点，另一端系一带正电的小球在竖直平面内作圆周运动，小球所受的电场力和重力相等，直径ac和bd互相垂直，且bd平行于电场线，则（ BC ）A小球在a点动能最小 B小球在c点重力势能最小C小球在b点机械能最大 D小球在d点总能最大6、“水刀”就是将普通水加压，使其从小口径喷嘴中以800m/s1000m/s的速度射出的水流我们知道，任何材料能承受的压强都有一定的限度，如橡胶为5107Pa，花岗石为1.22.6108Pa，铸铁为8.8108Pa，工具钢为6.8108Pa设想一水刀垂直入射的速度为800m/s，水流与材料接触后速度为零，且不附着在材料上，则此水刀不能切割（ CD ）A橡胶 B花岗石 C铸铁 D工具钢7、圆筒形的薄壁玻璃容器中，盛满某种液体，容器底部外面有光源S，试问液体折射率至少为多少时，才不能通过容器壁在筒外看到光源S（壁厚不计）达标8y8、如图所示，一带电质点，质量为 m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）EABv0达标9 9、如图所示，木板AB放在光滑水平面上，其周围是竖直向下的匀强电场一质量为m、带电量为q的小物块，以某一水平初速度从A端滑上木板，到B端时恰相对静止若将电场反向，强度不变，物块仍以原初速度从A端滑上木板，结果滑到木板的中点时相对静止，求：（1）物块的电性；（2）场强的大小达标10 10、如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木盒A，盒子顶端挂着一小球B（可视为质点），若A、B的质量均为1kg，B距A底板为H=16cm，当它们都静止时，弹簧的长度为L某时刻，悬挂小球的细线突然断开，在A上升到最高点时，B和A的底板相碰，碰撞时间极短，碰后成为一体向下运动，当弹簧的长度又为L时，两者的速度为v=1m/s，求：（1）碰撞中动能的损失E；（2）弹簧的劲度系数k；（3）细线断前弹簧的弹性势能E0Bm1m1m2PMNh1h2 达标1111、如图所示为三对等间距的平行光滑导轨，导轨宽均为L，其中M、N为两对倾斜放置的塑料导轨，P为水平放置的金属导轨，三对导轨焊接处为金属，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B已知质量为m1的金属棒在M轨道上从高度为h1处由静止释放，金属棒沿导轨M滑下，然后沿导轨N滑上，达到的最大高度为h2，此过程中质量为m2的导体棒由静止在安培力作用下沿导轨P运动起来，不计一切因碰撞损失的能量，不计导轨电阻，求此过程中：（1）安培力对m1的冲量I；（2）m2的最大速度v；（3）电路中产生的焦耳热Q专题十一，课时1解答 例1例1解析：以B为研究对象，由平衡条件得T=mBg再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：N=mgcos，T - fm-mgsin = 0，或：T+fm-mgsin=0， fm=N，综上所得，B的质量取值范围是：m（sin-cos）mBm(sin+cos) 例2解析：人与车运动时间相等，设为t，当人追上车时，二者之间的位移关系应为，即，由上式求解t，若有解则追上，反之追不上，将题给数据代入整理后可得，由于判别式 ，所以人不可能追上车当车的速度等于人的速度时，人与车的距离最小，根据可知，从开始追车到距离最小所用时间为 t = 6s在这段时间内人与车的位移分别为m，m，人、车间最小距离为 s =s车 + x0 s人=7m例3解析：首先用极限法把加速度a推到两个极端来分析：当加速度a较小时，小球受到重力、绳子的拉力和斜面的支持力三个力作用，此时绳子平行与斜面；当加速度a足够大时，小球将“飘起” ，离开斜面，此时绳子与水平方向的夹角未知那么，当a =10m/s2向右时，究竟是上述两种情况的哪一种？解题时必须先求出小球离开斜面的临界值，然后再确定设小球处在离开斜面的临界状态（N刚好为零）时，斜面向右的加速度为a0，此时对小球：mgcot = ma0，可求出：a0 =gcot = 7.5m/s2；因为a a0，所以小球一定离开斜面，可以求得绳子的拉力N，细线与水平方向的夹角为 = arctanmg/ma = 45，斜面的支持力N=0例4解析：要求FII：FI的最小值，即要求FI的最大值，FII的最小值，故必须找出FI和FII对应的两个临界状态 据题意，小球经两次打击才通过圆周最高点C，故第一次打击后，小球只能在圆弧ABC之间运动，从下图可以看出，当小球在圆弧AB上运动时，重力沿半径的分力F1背离圆心，拉紧绳子，即使小球速度减为零，也不会脱离圆周当小球在圆弧BC上运动时，重力沿半径的分力F1改为沿半径指向圆心必会在下图中P点出现（090），小球将脱离圆周而作斜抛运动，线松驰可见，由于在B点上下重力沿半径方向分力F1方向的突变，使得小球将出现不同的运动情况要使绳子始终拉直，第一次打击后，小球只能在圆弧AB上运动，“小球沿圆弧上升至B点速度恰为零”为确定FI的临界条件要求FII最小，则第二次打击后，小球恰能通过最高点C，“绳子张力TC= 0”，这是确定FII最小值的临界条件设第一次打击后，小球速度为v1，由动量定理得FI t = mv1 FI最大时，小球到达B点速度为零，由机械能守恒定律得mv12/2 = mgl 联立解得：v1 =，FI =m/t小球经过最低点并向左运动时，作第二次打击，打击后速度为v2，由动量定理得：FII t = mv2 - mv1 设小球升至最高点C时速度为v3，由机械能守恒定律得：FII最小时，小球通过C点时线的张力TC=0，由牛顿第二定律得mg= mv32/l 联立解得：FII = ，得FII/ FI = 例5解析：滑块A恰好到达滑块B的最高点时，两者有共同速度v，系统水平方向动量守恒：mv0cos =（m+M）v 系统机械能守恒： 可得，所以当时，滑块A可以滑过斜面B的顶端例6 解析：该同学所得结论有不完善之处为使小球始终沿水平面运动，电场力在竖直方向的分力必须小于等于重力qEsinmg所以即 7.5104V/mE1.25105V/m例7解析：由几何关系可得，粒子在磁场中的轨道半径L/3 r L，又Bqv0=m v02/r，r = m v0 /Bq，得L Bq / 3m v0 L Bq / m例8解析： 光垂直BC面入射，一部分光按原路反射，一部分沿入射方向进入玻璃射到AC面上时光的人射角i1=3055，因此一部分光折射进空气，一部分光反射到 BC面在 BC面上光的入射角i2=6055，发生全反射，垂直于AB面入射并进入空气光路图如图所示反馈1解析：（1）由质能方程，E0 = 2mc2 ，得m = 9.110-19kg；（2）E0 = h f，f = 2.51020Hz；（3）h f - E0= 2 mv2/2，反馈2解析：（1）由题设可知，中子星的卫星绕中子星沿圆周运动，则中子星与其卫星之间的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，所以有 ，即由上式可知，轨道半径越小，卫星的运行周期越小，故当卫星做圆周运动的半径恰等于中子星的半径时，其运行的周期必为最小值设中子星的圆轨道半径为R，质量为m，由万有引力提供向心力，可得 ，即当R= r（中子星的半径）时，卫星的运行周期最小，注意到 ，则有，代入数据，解得Tmin=1.210-3s（2）由F=m2R可知，中子星表面“赤道”部分做圆周所受的向心力最大，由此可得到中子星因自转而不发生瓦解的临界条件是：中子星“赤道”表面处质点所受万有引力应等于其所需要的向心力，由这种情况下计算出的中子星的密度即为其密度的下限值设中子星的质量为M，半径为r，密度为, 自转角速度为，今在中子星赤道表面处取一质量极小的部分，设其质量为m，因为这部分的质量极小，故可认为中子星其他部分的质量仍为M，由万有引提供向心力，可得，又，整理，可得，代入数据，可午min=1.31014 kg/m3达标解析达标1、A 2、D 3、ACD 4、C 5、BC 6、CD达标7达标7解析：要在容器外空间看不到光源S，即要求光源S进入液体后，射向容器壁光线的入射角（临界角），如图所示，由折射定律可知， （1）由图可知， （2）在A点入射处，由折射定律有，所以 （3）由（1）（3）两式可知，由（2）式可知：越小越好，临界角C也是越小越好：由可知，越大，C越小；而由可知，当一定时，越大，小，所以液体的折射率达标8解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，得 （1）达标8根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆弧，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切过点作平行于轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O为圆心、R为半径的圆（圆中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周所以本题所求的圆形磁场区