赵明旺版习题解答_现控理论_第3章.doc

习题解答3-1试用直接计算法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt(即状态转移矩阵)。 解 (1) 按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:(2) 按矩阵指数函数eAt的展开式，可计算如下:3-2 试利用矩阵指数函数的性质计算下列矩阵A的矩阵值函数eAt。 解 (1) 因为A矩阵为由2个方块矩阵组成的块对角矩阵，因此矩阵A的矩阵值函数eAt为(2) 因为A矩阵为由2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A1的矩阵指数函数为因此矩阵A的矩阵值函数eAt为3-3试选择适当的方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。 解 (1) 因为A矩阵为由2个方块矩阵组成的块对角矩阵，其中块矩阵A2的矩阵指数函数的计算过程为因此矩阵A的矩阵值函数eAt为(2) 因为A矩阵的特征多项式为s2+(a+b)s+ab,其特征值为-a和-b。因此矩阵A的矩阵值函数eAt可表示为其中待定函数由如下计算确定则系统的矩阵指数函数为3-4试说明下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,若满足,试求与之对应的A矩阵。 解 (1) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。本例的F(t)显然满足定义的初始条件。设该F(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形即将本例的F(t)代入有对上述计算出的A，还需检验其是否满足F(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为综上所述，因为该A矩阵满足F(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该F(t)为一个状态转移矩阵，A为其对应的系统矩阵。(2) 判断是否为状态转移矩阵，主要看是否其满足状态转移矩阵的如下定义式。本例的F(t)显然满足定义的初始条件。设该F(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形即将本例的F(t)代入有对上述计算出的A，还需检验其是否满足F(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为综上所述，因为该A矩阵满足F(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此其为该F(t)为一个状态转移矩阵，A为其对应的系统矩阵。3-5 试求下列齐次状态方程的解。(1) (2) 解：(1) 由于A矩阵为对角线矩阵，其对应的矩阵指数函数为因此齐次状态方程的解为(2) 由于A矩阵为约旦矩阵，其对应的矩阵指数函数为因此齐次状态方程的解为3-6设线性定常系统的齐次状态方程为已知, 当, 当试求取该系统的系统矩阵A及状态转移矩阵。解: 根据齐次状态方程的解表达式,将同一个系统在不同初始条件下的解排列在一起，有因此,有下面计算上述矩阵指数函数（状态转移矩阵）对应的A。由状态转移矩阵的定义式知，矩阵A和F(t)满足该微分方程式，则也应该满足t=0的情形即将上述F(t)代入有对上述计算出的A，还需检验其是否满足F(t)定义中的微分方程式。该微分方程式的左右两边分别为综上所述，因为该A矩阵满足F(t)定义中的微分方程式和初始条件，因此所求得的A及其状态转移矩阵F(t)满足题目所给定的两个初始条件。3-7 已知线性定常系统的齐次状态方程为试确定与状态相对应的初始状态。解 对本题，先求出系统的状态转移矩阵。由于矩阵A为友矩阵，其特征多项式为s2+s-2，特征值为1和-2，其对应的特征向量分别为 1 1T 1 -2T则由特征向量组成的变换矩阵P可以将A矩阵变换为对角线矩阵，即有因此，原矩阵A的矩阵指数函数为因此，若已知，则由可得3-8 已知线性定常系统的非齐次状态方程为 试分别求在下列输入下状态轨迹(1) 阶跃信号;(2) 负指数信号。解 先求系统的状态转移矩阵。然后根据非齐次状态方程的解公式对不同输入求解状态响应。(1) 当输入信号为负指数信号(2) 当输入信号为负指数信号3-9 试求取下列连续系统状态方程在T=0.1s的离散化方程。(1) (2)解 采样周期T=0.1s较大，采用精确离散法(1) 先求系统的状态转移矩阵。由于A为对角线矩阵，因此状态转移矩阵为因此，精确离散化方法离散化所得的系统模型各矩阵为(2) 先求系统的状态转移矩阵。由求状态转移矩阵的方法，可求得本题的因此，精确离散化方法离散化所得的系统模型各矩阵为3-10已知系统的状态方程为 其中输入信号u1(k)和u2(k)分别为阶跃信号和斜坡信号在采样周期为0.2s时的采样值。试求系统的状态方程的解x(k)。解 (1) 直接法求解。先计算出Gk。由