人教B 版选修44 参数方程的概念与圆的参数方程 课件（40张）.ppt

no 1middleschool mylove 第3课时参数方程的概念与圆的参数方程 已知p x y 是圆x2 y2 4上的任意一点 角 的终边在射线op上 那么p的横坐标x 纵坐标y与 有什么关系 小组讨论 并写出它们的关系式 预学1 参数方程的定义一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 确定的点 x y 都在这条曲线上 那么该方程就叫作这条曲线的参数方程 no 1middleschool mylove 议一议 在 问题情境 中 分别写出 所对应的点p的坐标 并讨论 从0到2 的变化中 p点的变化轨迹 no 1middleschool mylove 解析 当 时 对应的点p坐标分别为 1 0 2 2 0 1 当 从0到2 变化时 点p恰好从 2 0 处沿着圆x2 y2 4逆时针方向旋转一周 no 1middleschool mylove 预学2 参数的定义及意义参数方程 中的变数t叫作参变数 简称参数 参数是联系变数x y的桥梁 可以是一个有物理意义或几何意义的变数 也可以是没有明显实际意义的变数 no 1middleschool mylove 想一想 质点p x y 在平面直角坐标系上运动 初始点在a 1 2 处 横坐标x按每秒增加2个单位的速度 纵坐标y按每秒减少3个单位的速度同时变化 试求质点p的运动轨迹参数方程 在解答这个问题时 你把什么当作参数 有什么具体的意义呢 no 1middleschool mylove 解析 用质点p运动的时间t作参数 则质点p运动t秒后 x 1 2t y 2 3t 所以质点p的运动轨迹参数方程为 t 0 no 1middleschool mylove 预学3 参数方程与普通方程相比的优势及参数方程上点的确定曲线是由点构成的 普通方程侧重于判断曲线的形状 参数方程侧重于表示曲线上的点 参数方程 与普通方程相比更容易表示曲线上的任意一点的坐标 只要确定参数t t0 则点的坐标为 f t0 g t0 no 1middleschool mylove 判断点 x0 y0 在不在参数方程 表示的曲线上 只需把点的坐标代入方程组 方程组有解说明点在曲线上 否则点不在曲线上 no 1middleschool mylove 议一议 已知参数方程 0 2 判断点a 1 和b 2 1 是否在方程的曲线上 no 1middleschool mylove 解析 把a b两点的坐标分别代入方程 得 在 0 2 内 方程组 的解是 而方程组 无解 故点a在方程的曲线上 而点b不在方程的曲线上 no 1middleschool mylove 预学4 圆的参数方程的定义 1 圆心在原点 半径为r的圆的参数方程为 为参数 2 圆心在 a b 半径为r的圆的参数方程为 为参数 no 1middleschool mylove 练一练 写出下列圆的参数方程 1 x2 y2 9 2 x 1 2 y 2 2 16 no 1middleschool mylove 解析 1 为参数 2 为参数 no 1middleschool mylove 1 点与曲线的位置关系例1 已知曲线c的参数方程是 t为参数 1 判断点m1 1 2 m2 2 15 与曲线的位置关系 2 已知点m3 a 129 在曲线c上 求a的值 no 1middleschool mylove 方法指导 判断点与曲线的位置关系 只需将点的坐标代入曲线的参数方程 若方程组有解 则说明点在曲线上 否则 点不在曲线上 no 1middleschool mylove 解析 1 把点m1的坐标 1 2 代入方程组 无解 因此点m1不在曲线c上 把点m2的坐标 2 15 代入方程组 得到 解得t 1 因此点m2在曲线c上 no 1middleschool mylove 2 因为点m3 a 129 在曲线c上 所以 解得 因此a 4 no 1middleschool mylove 变式训练1 在平面直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 其中 为参数 r 在极坐标系 以坐标原点o为极点 x轴的正半轴为极轴 中 曲线c2的极坐标方程为 cos a 1 把曲线c1和c2的方程化为直角坐标方程 2 若曲线c1上恰有三个点到曲线c2的距离为 求曲线c2的直角坐标方程 no 1middleschool mylove 解析 1 由曲线c1 3sin 2 x 3cos y 2 消去参数 得 x 2 2 y 2 2 9 曲线c2 cos sin a 化为直角坐标方程 得x y a no 1middleschool mylove 2 曲线c1上恰有三个点到曲线c2的距离为 则圆c1的圆心到直线c2的距离为r 3 由点到直线的距离公式得 a 曲线c2的直角坐标方程为x y 即2x 2y 3 0或2x 2y 3 0 no 1middleschool mylove 2 圆的参数方程例2点p x y 在曲线 为参数 r 上 则 的取值范围是 方法指导 由圆的参数方程得到圆心和半径 由数形结合知 为直线op的斜率 由圆心到直线的距离与圆半径比较得到 的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 消去参数 得曲线的普通方程为 x 2 2 y2 1 圆心为 2 0 半径为1 设 k 则直线y kx 即kx y 0 当直线与圆相切时 圆心到直线的距离d 1 即 2k 解得k 由图象知k的取值范围是 k 即 的取值范围是 no 1middleschool mylove 想一想 本题不消参数怎么解 变式训练2 已知点p x y 是曲线c 其中 为参数 r 上的任意一点 则3x y的取值范围为 no 1middleschool mylove 解析 设p 3 cos 2 sin 则3x y 3 3 cos 2 sin 11 3cos sin 11 2 sin 3x y的最大值为11 2 最小值为11 2 故3x y的取值范围是 11 2 11 2 no 1middleschool mylove 3 极坐标 参数方程的综合应用例3 在直角坐标系xoy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 半圆c的极坐标方程为 2cos 0 1 求半圆c的参数方程 2 设点d在半圆c上 半圆c在点d处的切线与直线l y x 2垂直 试根据 1 中你得到的参数方程 确定d的坐标 no 1middleschool mylove 方法指导 1 由极坐标方程与普通方程的互化关系可得出半圆c的普通方程 从而写出半圆c的参数方程 注意参数的取值范围 2 先设出d点坐标 然后由半圆c在点d处的切线与直线l垂直 得出d点坐标 no 1middleschool mylove 解析 1 设点m x y 是半圆c上任意一点 则由 2cos 可得半圆c的普通方程为x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 0 y 1 故半圆c的参数方程为 是参数 0 no 1middleschool mylove 2 设d点坐标为 1 cos sin 由 1 知c是以 1 0 为圆心 1为半径的半圆 因为半圆c在点d处的切线与直线l垂直 所以直线cd与l的斜率相同 tan 且0 所以 故d点的直角坐标为 no 1middleschool mylove 变式训练3 1 在极坐标系ox中 设集合a 0 0 cos 求集合a所表示区域的面积 2 在直角坐标系xoy中 直线l t为参数 曲线c 为参数 其中a 0 若曲线c上所有的点均在直线l的右下方 求实数a的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 在 cos 两边同乘 得 2 cos 化成直角坐标方程 得x2 y2 x 即 x 2 y2 所以集合a所表示的区域为由射线y x x 0 y 0 x 0 圆 x 2 y2 所围成的区域 如图所示的阴影部分 所求面积为 no 1middleschool mylove 2 由题意知 直线l的普通方程为x y 4 0 因为曲线c上所有的点均在直线l的右下方 所以对 r 有acos 2sin 4 0恒成立 即 cos 4 其中tan 恒成立 所以 4 又a 0 得0 a 2 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 1 曲线的参数方程的特点 曲线的参数方程常常是方程组的形式 任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点 反过来对于曲线上任意一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值 在具体问题中 如果要求相应曲线的参数方程 首先就要注意参数的选取 no 1middleschool mylove 一般来说 选择参数时应注意考虑以下两点 一是曲线上每一点的坐标 x y 都能由参数取某一值唯一地确定出来 二是参数与x y之间的相互关系比较明显 容易列出方程 参数的选取应根据具体条件来考虑 可以是时间 也可以是线段的长度 方位角 旋转角 动直线的斜率 倾斜角 截距 动点的坐标 等等 no 1middleschool mylove 2 求曲线参数方程的主要步骤 第一步 设点 画出轨迹草图 设m x y 为轨迹上任意一点的坐标 画图时注意根据几何条件选择点的位置 以利于发现变量之间的关系 no 1middleschool mylove 第二步 选参 选择适当的参数 参数的选择要考虑以下两点 一是曲线上每一点的坐标 x y 与参数的关系比较明显 容易列出方程 二是x y的值可以由参数唯一确定 例如 在研究运动问题时 通常选时间为参数 在研究旋转问题时 通常选旋转角为参数 第三步 表示 结论 根据已知条件 图形的几何性质 问题的物理意义等 建立点的坐标与参数的函数关系式 证明可以省略 no 1middleschool mylove 2016年全国 卷 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 t为参数 a 0 在以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c2 4cos 1 说明c1是哪种曲线 并将c1的方程化为极坐标方程 2 直线c3的极坐标方程为 0 其中 0满足tan 0 2 若曲线c1与c2的公共点都在c3上 求a no 1middleschool mylove 解析 1 消去参数t得到c1的普通方程 得x2 y 1 2 a2 则c1是以 0 1 为圆心 a为半径的圆 将x cos y s