北师大版必修五 第二章 §1　正弦定理与余弦定理 学案.docx

1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.3.掌握用两边夹角求三角形面积知识点一 正弦定理思考1 如图，在rtabc中，分别等于什么？答案 c.思考2 在一般的abc中，还成立吗？答案 在一般的abc中，仍然成立梳理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即，这就是正弦定理特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化知识点二 用两边夹角表示的三角形面积公式思考 在知识点一中，我们知道边ab上的高cdbsin aasin b那么abc的面积如果用bsin a或asin b代替cd，会出现什么形式？答案 sabcabcdcbsin acasin b.梳理 一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半，即sabcabsin cbcsin aacsin b.知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角a，b，c和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形1对任意abc，都有.()2任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素()3在abc中，已知a，b，a，则三角形有唯一解()类型一 正弦定理的证明例1 在钝角abc中，证明正弦定理考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的理解证明 如图，过c作cdab，垂足为点d，d是ba延长线上一点，根据正弦函数的定义知，sincadsin(180a)sin a，sin b.cdbsin aasin b，.同理，.故.反思与感悟 用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使我们理解更深刻，记忆更牢固跟踪训练1 如图，锐角abc的外接圆o半径为r，角a，b，c对应的边分别为a，b，c，证明：2r.考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的理解证明 连接bo并延长，交外接圆于点a，连接ac，则圆周角aa.ab为直径，长度为2r，acb90，sin a，sin a，即2r.类型二 已知两角及一边解三角形例2 在abc中，已知a30，b60，a10，解三角形考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 根据正弦定理，得b10.又c180(3060)90，c20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角跟踪训练2 在abc中，已知a18，b60，c75，求b的值考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 根据三角形内角和定理，得a180(bc)180(6075)45，根据正弦定理，得b9.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在abc中，已知c，a45，a2，解三角形考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形解 ，sin c，c(0，180)，c60或c120.当c60时，b75，b1；当c120时，b15，b1.b1，b75，c60或b1，b15，c120.引申探究若把本例中的条件“a45”改为“c45”，则角a有几个值？解 ，sin a.c2a，ca.a为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角a只有一个反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边跟踪训练3 在abc中，若a，b2，a30，则c .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形答案 105或15解析 由正弦定理，得sin b.b(0，180)，b45或135，c1804530105或c1801353015.1. 在abc中，一定成立的等式是( )aasin absin b bacos abcos bcasin bbsin a dacos bbcos a考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的变形应用答案 c解析 由正弦定理，得asin bbsin a，故选c.2在abc中，sin asin c，则abc是( )a直角三角形 b等腰三角形 c锐角三角形 d钝角三角形考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 b解析 由sin asin c及正弦定理，知ac，abc为等腰三角形3在abc中，已知a8，b60，c75，则b等于( )a4 b4 c4 d4考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形答案 c解析 易知a45，由，得b4.4在abc中，a，b，b，则a .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形答案 或解析 由正弦定理，得sin a，又a(0，)，ab，ab，a或.5已知在abc中，边a，b，c的对角分别为a，b，c，且a，c，c，则abc的面积s .考点 用正弦定理解三角形题点 用正弦定理求面积答案 解析 由正弦定理知，sin aa.由ac，得a0)2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论一、选择题1在abc中，a5，b3，则sin asin b的值是( )a. b. c. d.考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 a解析 根据正弦定理，得.2在abc中，absin a，则abc一定是( )a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的变形应用答案 b解析 由题意有b，则sin b1，又b(0，)，故角b为直角，故abc是直角三角形3在abc中，若，则c的值为( )a30 b45 c60 d90考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的变形应用答案 b解析 由正弦定理知，cos csin c，tan c1，又c(0，)，c45，故选b.4在abc中，若a105，b45，b2，则c等于( )a1 b2 c. d.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形答案 b解析 a105，b45，c30.由正弦定理，得c2.5在abc中，a15，b10，a60，则cos b等于( )a b. c d.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 d解析 由正弦定理，得，sin b.ab，ab，又a60，b为锐角，cos b .6在abc中，已知a，a，b1，则c的值为( )a1 b2 c.1 d.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形答案 b解析 由正弦定理，可得，sin b，由ab，得ab，b，b.故c，由勾股定理得c2.7在abc中，b，bc边上的高为bc，则sin a等于( )a. b. c. d.考点 用正弦定理解三角形题点 正弦定理解三角形综合答案 d解析 如图，设bc边上的高为ad，不妨令ad1.由b，知bd1.又adbcbd，dc2，ac.由正弦定理知，sinbac3.8在abc中，若a60，b45，bc3，则ac等于( )a4 b2c. d.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形答案 b解析 由正弦定理，得，即，所以ac2，故选b.二、填空题9在abc中，若c2b，则的取值范围为 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变形解三角形答案 (1,2)解析 因为abc，c2b，所以a3b0，所以0b，所以cos b1.因为2cos b，所以12cos b2，故1b.则下列三个不等式中成立的是 sin asin b；cos acos acos b.考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变形解三角形答案 解析 ababsin asin b，故成立函数ycos x在区间0，上是减函数，ab，cos a，0basin，即sin acos b，同理sin bcos a，故成立三、解答题12已知在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，c10，a45，c30，求a，b和b.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ，a10.b180(ac)180(4530)105.又，b20sin 75205()13在abc中，a60，a4，b4，求b.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形解 由正弦定理，得sin b，ab，ab，b只有一解，b45.四、探究与拓展14在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，ax，b2，b45.若abc有两解，则x的取值范围是( )a(2，) b(0,2) c(2,2) d(，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边的对角解三角形答案 c解析 因为abc有两解，所以asin bba，即xsin 452x，所以2x2，故选c.15已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，