人教B 版选修44 参数方程的概念、圆的参数方程 课件（48张）.ppt

第二讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念 圆的参数方程 自主预习 1 曲线的参数方程的定义一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程 变数t叫做参变数 简称 参数 2 圆的参数方程 即时小测 1 曲线 为参数 围成图形的面积等于 a b 2 c 3 d 4 解析 选d 曲线即 为参数 表示圆心为 1 3 半径为2的圆 所以面积等于4 2 已知 t为参数 若y 1 则x 解析 若y 1 则t2 1 则t 1 x 0或2 答案 0或2 知识探究 探究点参数方程的概念 圆的参数方程1 曲线的参数方程中参数的实际意义是什么 提示 在曲线的参数方程中 参数可以有明确的几何意义 也可以有明确的物理意义 如时间 旋转角等 当然也可以是没有实际意义的变数 2 圆的参数方程中参数的几何意义是什么 提示 1 圆的参数方程中参数 的几何意义 射线ox绕点o逆时针旋转到om m x y 是圆上的任意一点 位置时转过的角度 如图所示 2 圆的参数方程中参数 的几何意义 如图所示 设其圆心为c cm0 x轴 则参数 的几何意义是cm0绕点c逆时针旋转到cm m x y 是圆上的任意一点 位置时转过的角度 归纳总结 1 曲线的参数方程的理解与认识 1 参数方程的形式 曲线上点的横 纵坐标x y都是变量t的函数 给出一个t能唯一地求出对应的x y的值 因而得出唯一的对应点 但是横 纵坐标x y之间的关系并不一定是函数关系 2 参数的取值范围 在表示曲线的参数方程时 必须指明参数的取值范围 因为取值范围不同 所表示的曲线也会有所不同 2 参数方程与普通方程的统一性 1 参数的作用 参数是间接地建立横 纵坐标x y之间的关系的中间变量 起到了桥梁的作用 2 参数方程与普通方程的转化 曲线的普通方程是相对参数方程而言的 普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系 而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系 特别提醒 普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式 参数方程可以与普通方程进行互化 类型一参数方程的表示与应用 典例 已知曲线c的参数方程是 t为参数 a r 点m 3 4 在曲线c上 1 求常数a的值 2 判断点p 1 0 q 3 1 是否在曲线c上 解题探究 典例中如何求常数的值 如何判断点与曲线的位置关系 提示 为了求常数的值 只需将点m的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x y 消去参数t 求a即可 要判断点与曲线的位置关系 只要将点的坐标代入曲线的参数方程检验即可 若点的坐标是方程的解 则点在曲线上 否则 点不在曲线上 解析 1 将点m 3 4 的坐标代入曲线c的参数方程得消去参数t 解得a 1 2 由上述可得 曲线c的参数方程是将点 1 0 的坐标代入参数方程得得t 0 因此点 1 0 在曲线c上 将点 3 1 的坐标代入参数方程得方程组无解 因此点 3 1 不在曲线c上 方法技巧 点与曲线的位置关系 1 动点的轨迹 满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线 点与曲线的位置关系有两种 点在曲线上 点不在曲线上 2 对于曲线c的普通方程f x y 0 若点m x1 y1 在曲线上 则点m x1 y1 的坐标是方程f x y 0的解 即有f x1 y1 0 若点n x2 y2 不在曲线上 则点n x2 y2 的坐标不是方程f x y 0的解 即有f x2 y2 0 3 对于曲线c的参数方程 t为参数 若点m x1 y1 在曲线上 则对应的参数t有解 否则无解 即参数t不存在 变式训练 已知曲线c的参数方程为 t为参数 1 判断点a 1 0 b 3 2 与曲线c的位置关系 2 若点m 10 a 在曲线c上 求实数a的值 解析 1 把点a 1 0 的坐标代入方程组 解得t 0 所以点a 1 0 在曲线上 把点b 3 2 的坐标代入方程组 得即故方程组无解 所以点b不在曲线上 2 因为点m 10 a 在曲线c上 所以解得所以a 6 类型二求曲线的参数方程 典例 长为3的线段两端点a b分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动 点p的轨迹为曲线c 1 以直线ab的倾斜角 为参数 求曲线c的参数方程 2 求点p到点d 0 2 距离的最大值 解题探究 典例中点p是线段ab的几等分点 如何建立点的坐标的参数方程 如何求距离的最大值 提示 点p是线段ab的一个三等分点 利用三角函数建立点的坐标的参数方程 建立距离的目标函数 转化为二次函数求最大值 解析 1 设p x y 由题意 得所以曲线c的参数方程为 2 由 1 得 pd 2 2cos 2 sin 2 2 4cos2 sin2 4sin 4 3sin2 4sin 8 当时 pd 取得最大值 方法技巧 求曲线的参数方程的注意事项 1 求曲线的参数方程关键是确定参数 本题以线段所在直线的倾斜角为参数 通过解直角三角形得到曲线上动点坐标的三角函数方程 2 求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立目标函数 通过配方法求函数的最值 要注意函数的定义域 变式训练 1 若x t 1 t为参数 求直线x y 1 0的参数方程 解析 把x t 1代入x y 1 0 得y t 2 所以直线x y 1 0的参数方程为 2 已知边长为a的等边三角形abc的顶点a在y轴的非负半轴上移动 顶点b在x轴的非负半轴上移动 求顶点c在第一象限内的轨迹的参数方程 解析 如图 设c x y abo 过点c作x轴的垂线段cm 垂足为m 则所以 为参数 0 为所求 类型三圆的参数方程与应用 典例 2016 漳州高二检测 已知曲线c1 t为参数 c2 为参数 1 化c1 c2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若c1上的点p对应的参数为t q为c2上的动点 求pq中点m到直线c3 t为参数 距离的最小值 解题探究 1 如何根据参数方程判断曲线的形状 提示 将参数方程化为普通方程再判断曲线形状 2 如何求点到直线距离的最小值 提示 利用参数方程化为三角函数的最小值求解 解析 1 由曲线c1 t为参数 得利用三角函数的平方和公式消去参数t 得c1 x 4 2 y 3 2 1 曲线c1为圆心是 4 3 半径是1的圆 同理 得c2 曲线c2为中心是坐标原点 焦点在x轴上 长半轴长是8 短半轴长是3的椭圆 2 当t 时 p 4 4 q 8cos 3sin 故c3为直线x 2y 7 0 m到c3的距离d 4cos 3sin 13 5cos 13 当cos 1时 d取得最小值 方法技巧 1 圆的参数方程中的参数是角 所以圆上的点的坐标是三角函数 2 与距离有关的最大值或最小值问题 常常利用圆的参数方程转化为三角函数解决 变式训练 1 2016 合肥高二检测 设曲线c的参数方程为 为参数 直线l的方程为x 3y 2 0 则曲线c上到直线l距离为的点的个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 曲线c 为参数 的普通方程为 x 2 2 y 1 2 9 表示圆心c 2 1 r 3的圆 由于圆心 2 1 到直线x 3y 2 0的距离为 又r 2d 所以r d d 所以圆c上到l距离为的点有2个 2 已知点q是圆上的动点 则 pq 的最大值是 解析 由题意 设点q cos sin 则故 pq max 答案 2 自我纠错参数方程表示曲线的判断 典例 2016 漳州高二检测 参数方程为 t为参数 表示的曲线是 a 一条直线b