北师大版必修五 第二章 1　正弦定理的一个推论及应用 学案.docx

1 正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在abc中，若sin asin b，则a与b的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为a与b的大小关系不确定若再问：在abc中，若ab，则sin a与sin b的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定鉴于此，下面我们讲讲这个问题一、结论例1 在abc中，sin asin bab.分析 题中条件简单，不易入手因为是在三角形中，所以可以联系边角关系的正弦定理证明 因为sin asin b2rsin a2rsin b(其中r为abc外接圆的半径)，根据正弦定理变形a2rsin a，b2rsin b(其中a，b分别为a，b的对边)，可得sin asin bab，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得abab.所以sin asin bab.二、结论的应用例2 在abc中，a45，a4，b2，求b.分析 在遇到这样的问题时，有的同学会直接由正弦定理得b30或b150.其实这是错误的！只需由上述结论即可发现解 由正弦定理得，sin b，又sin bsin a，所以bsin b，所以cb，所以c有两解(1)当c60时，有a90；(2)当c120时，有a30.点评 除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.2 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两种方法，即化角为边和化边为角下面例析这两种方法的应用一、通过角之间的关系定“形”例1 在abc中，已知2sin acos bsin c，那么abc一定是( )a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d正三角形分析 通过三角恒等变形和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理可知，2sin acos bsin c可化为2ac，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以abc是等腰三角形故选b.方法二 因为在abc中，abc，即c(ab)，所以sin csin(ab)由2sin acos bsin c，得2sin acos bsin(ab)sin acos bcos asin b，即sin acos bcos asin b0，即sin(ab)0.又因为ab，所以ab0，即ab.所以abc是等腰三角形，故选b.答案 b点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变形，求出角(边)之间的关系二、通过边之间的关系定“形”例2 在abc中，若，则abc是( )a锐角三角形b直角三角形c等腰三角形d等腰三角形或直角三角形分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状解析 在abc中，由正弦定理，可得，整理得a(ac)b(bc)，即a2b2acbc0，(ab)(abc)0.因为abc0，所以ab0，即ab，所以abc是等腰三角形故选c.答案 c点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.3 细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题下面对这一问题进行深入探讨一、出现问题的根源我们作图来直观地观察一下不妨设已知abc的两边a，b和角a，作图步骤如下：先作出已知角a，把未知边c画为水平的，角a的另一条边为已知边b；以b边的不是a点的另外一个端点为圆心，边a为半径作圆c；观察圆c与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数显然，当a为锐角时，有如图所示的四种情况：当a为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解若a为锐角，只有当a不小于bsin a时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的当a为钝角时，只有当a大于b时才有解二、解决问题的策略1正弦定理法已知abc的两边a，b(ab)和角a，求b.根据正弦定理，可得sin b.若sin b1，三角形无解；若sin b1，三角形有且只有一解；若0sin b0)便为此三角形的解3公式法当已知abc的两边a，b和角a时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：a90a90ababababsin aabsin aabsin a一解二解一解无解一解无解三、实例分析例 在abc中，已知a45，a2，b(其中角a，b，c的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的abc有多少个？分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述方法来判断abc解的情况解 方法一 由正弦定理，可得sin bsin 45b，所以ab，故b30，符合条件的abc只有一个方法二 由余弦定理得22c2()22ccos 45，即c22c20，解得c1.而1b，故符合条件的abc只有一个.4 挖掘三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点由于我们对解三角形公式比较熟悉，做题时比较容易入手但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现像，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结合例子谈谈解三角形时，题目中隐含条件的挖掘1两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边ak，bk2，ck4，求k的取值范围错解 cba且abc为钝角三角形，c为钝角由余弦定理得cos c0.k24k120，解得2k0.综上所述，0kk4.即k2而不是k0.正解 cba，且abc为钝角三角形，c为钝角由余弦定理得cos c0.k24k120，解得2kk4，k2，综上所述，k的取值范围为2k0，03.点拨 忽略了三角形内角和为180，及角a，b的取值范围，从而导致的取值范围求错正解 由正弦定理得cos 2a2cos2a4cos2a1.abc180，b3a.ab4a180，0a45.cos a1，14cos2 a13，13.温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.5 正弦、余弦定理的应用有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当的三角形，就能利用两定理，题目显得非常容易，本文剖析几例一、平面几何中的长度问题例1 如图，在梯形abcd中，cd2，ac，bad60，求梯形的高分析 如图，过点d作deab于点e，则de为所求的高由bad60，知adc120，又边cd与ac的长已知，故acd为已知两边和其中一边的对角，可解三角形解rtade，需先求ad的长，这只需在acd中应用余弦定理解 过点d作deab于点e，则de为所求的高由bad60，得adc120，在acd中，由余弦定理得ac2ad2cd22adcdcosadc，即19ad242ad2，解得ad3或ad5(舍去)在ade中，deadsin 60.点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现二、求范围例2 如图，在等腰abc中，底边bc1，abc的平分线bd交ac于点d，求bd的取值范围分析 把bd的长表示为abc的函数，转化为求函数的值域解 设abc.因为abcc，所以a1802，bdcaabd1802180，因为bc1，在bcd中，由正弦定理得bd，因为045，所以cos 1，而当cos 增大时，bd减小，且当cos 时，bd；当cos 1时，bd，故bd的取值范围是.点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等价转化等思想三、判断三角形的形状例3 在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若k，kr.(1)判断abc的形状；(2)若c，求k的值解 (1)cbcos a，cacos b，又，bccos aaccos b，bcos aaco