北师大版选修11 4.1 导数的加法与减法法则 学案.docx

4.1导数的加法与减法法则学习目标1.了解导数的加法与减法法则的推导方法.2.掌握导数的加法与减法法则.3.会利用导数的加法与减法法则进行简单导数计算.知识点一导数的加法与减法法则 (1)符号语言f(x)g(x)f(x)g(x).f(x)g(x)f(x)g(x).(2)文字语言两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差).知识点二两个函数和差的求导法则的推广(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)(a，b为常数).(2)f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)f1(x)f2(x)f3(x)fn(x).题型一利用导数的加法与减法法则求导例1求下列函数的导数：(1)yx；(2)y1sincos；(3)yx；(4)y(1).解观察式子的特点，可以先化简再求导.(1)yx2，y1.(2)y1sincos1sin x，ycos x.(3)yxx31，y3x2.(4)y(1)，y()xx.反思与感悟对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不利于直接应用导数公式时，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.跟踪训练1求下列函数的导数.(1)yx3x2x；(2)y2x.解(1)y(x3x2x)(x3)(x2)(x)3x22x1.(2)y(2x)(2x)()2xln 2.题型二求导法则的逆向应用例2已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1对一切xr恒成立，求f(x)的解析式.解由f(x)为一次函数可知，f(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，把f(x)，f(x)代入关于x的方程得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10，又该方程对一切xr恒成立，所以解得所以f(x)2x22x1.反思与感悟待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.跟踪训练2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x1.求yf(x)的函数表达式.解f(x)2x1，f(x)x2xc(c为常数)，又方程f(x)0有两个相等的实根，即x2xc0有两个相等的实根，124c0，即c，f(x)的表达式为f(x)x2x.题型三导数的应用例3求过点(1，1)与曲线yx32x相切的直线方程.解设p(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y3x2，故切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)，又切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0.当x01时，y01，f(1)1.当x0时，y0，f()，故所求的切线方程为y1x1或y(x).即xy20或5x4y10.反思与感悟在求曲线的切线方程时，注意两个说法：求曲线在点p处的切线方程；求曲线过点p的切线方程.在点p处的切线，一定是以点p为切点；过点p的切线，点p不一定是切点.跟踪训练3已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解(1)y2x1，直线l1的方程为y3x3，设直线l2过曲线yx2x2上的点b(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.l1l2，则有2b1，b.直线l2的方程为yx.(2)解方程组得直线l1和l2的交点坐标为.l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、，故所求三角形的面积s.方程思想的应用例4设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，br，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程.分析列方程求出a，b，并将x1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率.解因为f(x)x3ax2bx1，所以f(x)3x22axb.令x1，得f(1)32ab，又因为f(1)2a，所以32ab2a，解得b3.令x2，得f(2)124ab.又因为f(2)b，所以124abb，解得a.所以f(x)x3x23x1，f(1).又因为f(1)2a3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3(x1)，即6x2y10.解后反思本题是通过列方程求得参数的值，方程思想是求解数学综合题的基本思想方法之一.1.函数y(1)(1)的导数等于()a.1 b. c. d.答案a解析因为y(1)(1)x1，所以yx11.2.设函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值为()a. b. c. d.答案d解析f(x)3ax26x，f(1)4，3a64，a.3.曲线yx3x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()a. b. c. d.答案a解析yx3x，yx21，在点(1，)处的切线的斜率k2，切线方程为y2(x1)，令x0，得y，令y0，得x，所求三角形的面积为|.4.曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()a.30 b.45 c.60 d.120答案b解析f(x)3x22，f(1)1.设切线的倾斜角为，则tan 1，45.故选b.5.直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.答案ln 21解析设切点为(x0，y0)， y，x02，y0ln 2，ln 22b，bln 21.导数的加法与减法法则的应用对于教材中给出的导数的运算法则