北师大版选修11 1.2 椭圆的简单性质(一) 学案.docx

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图像.知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(，0)(0，)焦距|f1f2|2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e(0,1)知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.题型一椭圆的简单性质例1求椭圆25x2y225的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为x21，则a5，b1.所以c2，因此，椭圆的长轴长2a10，短轴长2b2，两个焦点分别是f1(0，2)，f2(0,2)，椭圆的四个顶点分别是a1(0，5)，a2(0,5)，b1(1,0)，b2(1,0).反思与感悟解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.跟踪训练1求椭圆m2x24m2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解椭圆的方程m2x24m2y21 (m0)可转化为1.m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为(，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(，0)，(0，)，(0，).离心率e.题型二由椭圆的简单性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e，短轴长为8.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由e，得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以椭圆的标准方程为1或1.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练2椭圆过点(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程.解所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点.当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3，e，ca3，b2a2c232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.题型三求椭圆的离心率例3如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_.答案解析联立方程组解得b、c两点坐标为b，c，又f(c，0)，则，又由bfc90，可得0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.反思与感悟求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a和c，再求e，也可利用e 求解.(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.跟踪训练3已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左，右顶点.p为c上一点，且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a. b. c. d.答案a解析设m(c，m)，则e，oe的中点为d，则d，又b，d，m三点共线，所以，a3c，e.椭圆离心率的求法椭圆离心率的三种求法：求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解.(1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与a2b2c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.(2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求a，c的值，利用公式e直接求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.例4若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，线段f1f2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()a. b. c. d.解析依题意，得，c2b，ab，e.答案d点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.例5设p是椭圆1(ab0)上的一点，f1，f2是其左，右焦点.已知f1pf260，求椭圆离心率的取值范围.分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.解方法一根据椭圆的定义，有|pf1|pf2|2a.在f1pf2中，由余弦定理，得cos 60，即|pf1|2|pf2|24c2|pf1|pf2|.式平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4a2.由，得|pf1|pf2|.由和运用基本不等式，得|pf1|pf2|2，即a2.由b2a2c2，得(a2c2)a2，解得e.又e1，该椭圆的离心率的取值范围是，1).方法二设椭圆与y轴交于b1，b2两点，则当点p位于b1或b2处时，点p对两焦点的张角最大，故f1b2f2f1pf260，从而ob2f230.在rtob2f2中，esin ob2f2sin 30.又e1，e1.该椭圆的离心率的取值范围是，1).点评在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点p运动到短轴的端点时，点p对两焦点的张角最大”这一极端情况.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()a.(13,0) b.(0，10)c.(0，13) d.(0，)答案d解析由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，).2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()a. b. c. d.答案b解析如图，由题意得，bfa，ofc，obb，od2bb.在rtofb中，|of|ob|bf|od|，即cbab，代入解得a24c2，故椭圆离心率e，故选b.3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()a. b.c. d.答案b解析由题意有，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去).4.若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_.答案解析焦点在y轴上，0m2，a，b，c，又e，解得m.5.椭圆25x29y2225的长轴长，短轴长，离心率依次为_.答案10,6，解析由题意，可将椭圆方程化为标准式为1，由此可得a5，b3，c4，2a10,2b6，e