北师大版选修11 §1 变化的快慢与变化率 学案.docx

学习目标1.了解实际问题中平均变化率的意义.2.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念知识点一函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率知识点二对函数平均变化率的理解(1)在xx2x1中，x2x1x，此处x是自变量x1的一个增量，x可以为正也可以为负，但不能等于0.(2)在中，注意y与x应对应一致，且x1x2.(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快(4)函数的平均变化率刻画函数yf(x)在区间x1，x2上变化的快慢知识点三平均变化率的几何意义设a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线ab的斜率知识点四对函数在x0处的瞬时变化率的理解(1)在，x可正，可负，但不可为0.但y可以为0，此时f(x)为常数函数(2)在中，当x趋向于0时，也趋于一个定值(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢，物体在某一时刻的瞬时速度是函数瞬时变化率的物理意义(4)函数在x0处的瞬时变化率仅有x0有关，而与x无关题型一平均变化率例1求函数y2x23当自变量x从x0变到x0x的平均变化率，并求当x02，x时该函数的平均变化率解当自变量x从x0变到x0x时，函数的平均变化率4x02x.当x02，x时，平均变化率为4229.反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪训练1求函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.题型二物体运动中的平均速度例2已知s(t)5t2，(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度解(1)当3t3.1时，t0.1，ss(3.1)s(3)53.125325(3.13)(3.13)30.5(m/s)(2)当3t3.01时，t0.01，ss(3.01)s(3)53.0125325(3.013)(3.013)30.05(m/s)反思与感悟(1)依据平均速度定义求解时，注意s与t之间的对应关系，还要注意运用有关数学公式来简化运算(2)在某一时间段内的平均速度与时间段t有关，随t变化而变化跟踪训练2质点m按规律s(t)2t23t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点m在t2 s到t2.1 s时的平均速度解当t从2变到2t时，函数值从22232变到2(2t)23(2t)，函数值s(t)关于t的变化率为2t11(cm/s)当t0.1时，平均变化率为11.2，所以质点在t2 s到t2.1 s时的平均速度v11.2 cm/s.题型三物体运动中的瞬时速度问题例3一辆汽车按规律s2t23(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t2 s时的瞬时速度解设在t2 s附近的时间增量为t，则位移的增量s2(2t)23(2223)8t2(t)2.因为82t，当t趋于0时，趋于8，所以这辆汽车在t2 s时的瞬时速度为8 m/s.反思与感悟求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；(2)求时间t0到t0t之间的平均速度，(3)求当t趋于0时，趋于的值，即得tt0时的瞬时速度跟踪训练3一质点按规律s(t)at21作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.当t趋于0时，趋于4a，即4a8，a2.求瞬时变化率例4求函数yf(x)在区间1,1x内的平均变化率及x1时的瞬时变化率错解yf(1x)f(1)1，平均变化率.由x0得，0，即x1时的瞬时变化率为0.错因分析没有对含有根式的分式变形化简就直接求瞬时变化率对含有分式，整式变形，一般先约分，再利用分子、分母有理化，化简到能求值为止正解yf(1x)f(1)1，平均变化率.当x0时，即x1时的瞬时变化率为.1在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足()ax0 bx0cx0 dx0答案c解析自变量的增量位于分母位置，故不为0.2如果质点m按规律s3t2运动，则在时间段2,2.1中相应的平均速度是()a4 b4.1 c0.41 d3答案b解析4.1.3若质点a按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()a6 b18 c54 d81答案b解析因为183t，所以当t趋于0时，趋于18.4若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.答案解析7t14t，t趋于0时，趋于14t，即14t1，t.1.对函数平均变化率的理解(1)在xx2x1中，x2x1x，此处x是自变量x1的一个增量，x可以为正也可以为负，但不能等于0.(2)在中，注意y与x应对应一致，且x1x2.(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化的越快(4)函数的平均变化率刻画函数yf(x)在x1，x2上变化的快慢2对函数在x0处的瞬时变化率的理解(1)在中，x可正，可负，但不可为