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文档简介

函数的极值 教学目标 1 理解极大值 极小值的概念 2 能够运用判别极大值 极小值的方法来求函数的极值 3 掌握求可导函数的极值的步骤 4 了解极值的应用 教学重点 极大值 极小值的概念和判别方法 以及求可导函数的极值的步骤 教学难点 极大值 极小值概念的理解 熟悉求可导函数的极值的步骤 熟悉函数的极值的应用 设函数f x 在点x0及其附近有定义 1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在除x0点外的任何一点的函数值都小于x0点的函数值 则称点x0为函数y f x 极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在除x0点外的任何一点的函数值都大于x0点的函数值 则称点x0为函数y f x 极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 一 极值的概念 分组讨论 1 对极值的概念的理解在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 二 剖析极值 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根的左右的单调性 如果先增后减 那么f x 在这个根处取得极大值 如果先减后增 那么f x 在这个根处取得极小值 如果一直单调 那么f x 在这个根处无极值 三 例题讲解 2 2 变式训练 反思1 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 f x 0的点未必是极值点 但是可导函数的极值点处导数必为0 极大 极小 值与最值是不同的概念 极大值不一定比极小值大 函数极值的综合应用 例3 设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 方程f x 0恰有3个解 分析 1 根据求函数极值的方法求解 2 求出函数y f x 的极值 借助函数的单调性采用数形结合的思想解决 反思解决函数的零点 或方程根 的个数问题的一般思路是数形结合 具体解法是 先利用导数求出函数的单调区间与极值 再结合函数的图象 草图 列出不等式组或方程组求解 变式训练3 若函数f x 2x3 6x k在r上只有一个零点 求常数k的取值范围 解 f x 2x3 6x k 则f x 6x2 6 令f x 0
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