北师大版选修11 2.1.1.2 椭圆的轨迹方程 作业.docx

第2课时椭圆的轨迹方程课时过关能力提升1.已知p为椭圆c上一点,f1,f2为椭圆的焦点,且|f1f2|=23,若|pf1|与|pf2|的等差中项为|f1f2|,则椭圆c的标准方程为()a.x212+y29=1b.x212+y29=1或x29+y212=1c.x29+y212=1d.x248+y245=1或x245+y248=1解析:由已知2c=|f1f2|=23,得c=3.2a=|pf1|+|pf2|=2|f1f2|=43,a=23.b2=a2-c2=9.故椭圆c的标准方程是x212+y29=1或x29+y212=1.答案:b2.设集合a=1,2,3,4,m,na,则方程x2m+y2n=1表示焦点在x轴上的椭圆的个数是()a.6个b.8个c.12个d.16个解析:由题意知mn.当m=2时,n=1,当m=3时,n=1,2,当m=4时,n=1,2,3.故共有6个.答案:a3.若椭圆x216+y2m=1的焦距为6,则m的值为()a.7b.7或25c.25d.7或5解析:设a2=16,b2=m,则c2=16-m,16-m=9,m=7;设a2=m,b2=16,则c2=m-16,m-16=9,m=25.答案:b4.已知圆x2+y2=1,从这个圆上任意一点p向y轴作垂线,垂足为p,则pp的中点m的轨迹方程是()a.4x2+y2=1b.x2+4y2=1c.x24+y2=1d.x2+y24=1解析:设点m的坐标为(x,y),点p的坐标为(x0,y0),则x=x02,y=y0.p(x0,y0)在圆x2+y2=1上,x02+y02=1.将x0=2x,y0=y代入方程,得4x2+y2=1.答案:a5.如图,一圆形纸片的圆心为o,f是圆内一定点,m是圆周上一动点,把纸片折叠使m与f重合,然后抹平纸片,折痕为cd,设cd与om交于点p,则点p的轨迹是()a.椭圆b.双曲线c.抛物线d.圆解析:由条件知|pm|=|pf|.|po|+|pf|=|po|+|pm|=|om|=r|of|.点p的轨迹是以o,f为焦点的椭圆.答案:a6.已知两定点a(1,1),b(-1,-1),动点p满足papb=x22,则点p的轨迹方程是.解析:设p(x,y),a(1,1),b(-1,-1),则pa=(1-x,1-y),pb=(-1-x,-1-y).又papb=x2-1+y2-1=x22,化简得,x24+y22=1.答案:x24+y22=17.已知点p是椭圆x2a2+y2b2=1上的任意一点,f1,f2是它的两个焦点,o为坐标原点,oq=pf1+pf2,则动点q的轨迹方程是.解析:如图,由oq=pf1+pf2,又pf1+pf2=pm=2po=-2op,设q(x,y),则op=-12oq=-12(x,y)=-x2,-y2,即点p坐标为-x2,-y2.又点p在椭圆上,则有-x22a2+-y22b2=1,即x24a2+y24b2=1.答案:x24a2+y24b2=18.在平面直角坐标系xoy中,已知abc的顶点a(-4,0)和c(4,0),顶点b在椭圆x225+y29=1上,则sina+sincsinb=.解析:由椭圆方程x225+y29=1知,a=5,b=3,c=4,即点a(-4,0)和c(4,0)是椭圆的焦点.又点b在椭圆上,|ba|+|bc|=2a=10,且|ac|=8.于是,在abc中,由正弦定理,得sina+sincsinb=|bc|+|ba|ac|=54.答案:549.椭圆的两焦点为f1(-4,0),f2(4,0),点p在椭圆上,若pf1f2的面积最大为12,则椭圆方程为.解析:如图,当点p在y轴上时pf1f2面积最大,128b=12,b=3,又c=4,a2=b2+c2=25.椭圆的标准方程为x225+y29=1.答案:x225+y29=110.如图,设点p是圆x2+y2=25上一动点,点d是点p在x轴上的投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|.当p在圆上运动时,求点m的轨迹c的方程,并判断此曲线表示什么图形.解:设点m的坐标为(x,y),点p的坐标为(xp,yp),由已知得xp=x,yp=54y,点p在圆上,x2+54y2=25,即轨迹c的方程为x225+y216=1.该曲线表示椭圆.11.在直线l:x-y+9=0上取一点p,过点p以椭圆x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆.(1)点p在何处时,点p到两个焦点的距离之和最短;(2)求点p到两个焦点的距离之和最短时的椭圆方程.解:(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为f1(-3,0),f2(3,0).设点f1(-3,0)关于直线l的对称点f1的坐标为(x0,y0),则y0x0+3=-1,x0-32-y02+9=0,解得x0=-9,y0=6,f1(-9,6).则过点f1和f2的直线方程为y-6-6=x+93+9,整理得x+2y-3=0,联立x+2y-3=0,x-y+9=0,解得x=-5,y=4,即点p坐标为(-5,4).(2)由(1)知,2a=|f1f2|=180,a2=45.c=3,b2=a2-c2=36.所求椭圆的方程为x245+y236=1.12.已知c1:(x-4)2+y2=132,c2:(x+4)2+y2=32,动圆c与c1内切同时与c2外切,求动圆圆心c的轨迹方程.解:由已知可得c1与c2的圆心坐标与半径分别为:c1(4,0),r1=13;c2(-4,0),r2=3.设动圆的圆心为c,其坐标为(x,y),动圆的半径为r.由于c1与c相内切,依据两圆内切的充要条件,可得|c1c|=r1-r.由于c2与c相外切,依据两圆外切的充要条件,可得|c2c|=r2+r.如图,由+可得|cc1|+|cc2|=r1+r2=13+3=16,即点c到两定点c1与c2的