北师大版选修11 4.2.2.2 导数在实际生活中求最值问题 作业.docx

第2课时导数在实际生活中求最值问题课时过关能力提升1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高为()a.2033 cmb.100 cmc.20 cmd.203 cm解析:设圆锥的高为h cm,则v=13(400-h2)h,所以v(h)=13(400-3h2).令v(h)=0,得h2=4003,所以h=2033.故选a.答案:a2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()a.13万件b.11万件c.9万件d.7万件解析:因为y=-x2+81,所以当x9时,y0.所以,函数y=-13x3+81x-234在(9,+)上是减少的,在(0,9)上是增加的.所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0,+)上只有一个极大值点,所以函数在x=9处取得最大值.答案:c3.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益r与年产量x的关系是r=400x-12x2,0x400,80 000,x400,则总利润最大时,年产量是()a.100b.150c.200d.300解析:设年产量为x时总利润为y,依题意,得y=400x-12x2-20 000-100x,0x400,80 000-20 000-100x,x400,即y=300x-12x2-20 000,0x400,60 000-100x,x400.所以y=300-x,0x400,-100,x400.由y=0,得x=300.经验证,当x=300时,总利润最大.答案:d4.若一球的半径为2,则内接于球的圆柱的侧面积最大为()a.2b.4c.6d.8解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,由h24+r2=4,得h=24-r2s圆柱侧=2rh=4r4-r2=4r2(4-r2)令y=r2(4-r2)=4r2-r4,则y=8r-4r3=-4r(r2-2),当r2时y0;当r0.当r=2时y最大为4,圆柱侧面积最大为8.答案:d5.某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为()a.32 m,16 mb.30 m,15 mc.40 m,20 md.36 m,18 m解析:设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m,其他两边边长为y m,则xy=512,新墙的周长l=x+2y=512y+2y(y0),令l=-512y2+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0y16时,l16时,l0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.答案:a6.某商场根据以往规律预计某种商品2017年第x月的销售量f(x)=-3x2+40x(xn+,1x12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(xn+,1x12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是()a.3 120元b.3 125元c.2 417元d.2 416元解析:该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1 400x,g(x)=18x2-370x+1 400.令g(x)=0,解得x=5,x=1409(舍去).当1x5时,g(x)0;当5x12时,g(x)0),y=250x-225x2,由y=0,得x=25,x(0,25)时,y0,x(25,+)时,y0),则水桶的高为27r2,所以s=r2+2r27r2=r2+54r(r0),求导数,得s=2r-54r2,令s=0,解得r=3.当0r3时,s3时,s0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.答案:39.向高为8 m,底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水,其速度为83 m3/min,则当水深为5 m时,水面上升的速度为.解析:设注水t min时,水的深度为h m,则容器内水的体积为83t=13h2h,则h=23t,所以h(t)=2313t2.当h=5时,t=1258,故v=h1258=875 m/min.答案:875 m/min10.已知函数f(x)=1+lnxx.(1)若k0,且f(x)在区间k,k+34上存在极值,求实数k的取值范围;(2)如果当x2时,不等式f(x)ax+2恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=1+lnxx,x0,则f(x)=-lnxx2,当0x0;当x1时,f(x)0)上存在极值,k10,解得14k0.从而g(x)0,故g(x)在2,+)上是增加的,g(x)min=g(2)=2(1+ln 2),a2(1+ln 2),即a的取值范围是(-,2+2ln 2.11.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品.若该商品的零售价定为p元,则销售量q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:q=8 300-170p-p2.问:该商品零售价定为多少时利润最大,最大利润是多少?分析:解题的关键是建立销售利润关于零售价的函数,其基本数学模型是:利润=(零售价-进货价)销售量.解:设利润为l(p),由题意可得l(p)=(p-20)q=(p-20)(8 300-170p-p2)=-p3-150p2+11 700p-166 000(p0),l(p)=-3p2-300p+11 700.令l(p)=0,得p=30或p=-130(舍去).则l(30)=23 000.0p0;p30时,l(p)0),将点d的坐标代入,得p=12,故抛物线的方程为y2=x.设p(t2,t)是曲线段ad上的任意一点,则0t2,作pqbc,pndc,则|pn|=4-t2,|pq|=t+2,所以厂房的面积s(t)=(t+2)(4-t2)=-t3-2t2+4t+8(