北师大版选修11 4.2.2.1 利用导数求函数的最大(小)值 作业.docx

2.2最大值、最小值问题第1课时利用导数求函数的最大(小)值课时过关能力提升1.函数y=2x3-3x2-12x+4在0,3上的最大值和最小值分别是()a.4,-16b.-4,-16c.4,16d.-4,16解析:y=6x2-6x-12,由y=0得,x=2或x=-1(舍),又f(0)=4,f(2)=-16,f(3)=-5,故函数y在0,3上的最大值和最小值分别是4和-16.答案:a2.给出下面4个命题:函数y=x2-5x+4(-1x1)的最大值为10,最小值为-94;函数y=2x2-4x+1(2x4)的最大值为17,最小值为1;函数y=x3-12x(-3x3)最大值为16,最小值为-16;函数y=x3-12x(-2x2)无最大值,也无最小值.其中正确命题的个数为()a.1b.2c.3d.4解析:通过求最值易知正确.答案:c3.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),f(x)在-2,2上有最大值3,那么函数f(x)在-2,2上的最小值是()a.-37b.-29c.-5d.以上都不对解析:f(x)=6x(x-2),f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,当x=0时,f(x)=m最大,m=3.f(-2)=-37,f(2)=-5.最小值为-37.答案:a4.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是()a.45b.54c.34d.43答案:d5.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上一定()a.有最小值b.有最大值c.是减少的d.是增加的解析:f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,a1.g(x)=f(x)x=x+ax-2a,则g(x)=1-ax2=x2-ax2.x(1,+),a0,即g(x)0.g(x)在(1,+)上是增加的.答案:d6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是()a.-13b.-15c.10d.15解析:求导得f(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值,知f(2)=0,即-34+2a2=0,a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上递减,在(0,1)上递增,当m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.又f(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称轴为x=1,当n-1,1时,f(n)min=f(-1)=-9.故f(m)+f(n)的最小值为-13.答案:a7.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a0),x1,4,f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=.解析:f(x)=4ax3-12ax2.令f(x)=0,得x=0(舍去),或x=3.所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a.又f(1)=b-3a,f(4)=b,f(4)为最大值,b=3,b-27a=-6,解得a=13,b=3,a+b=103.答案:1038.f(x)=x-ln x在区间(0,e上的最小值为.解析:f(x)=1-1x=x-1x,x0,当10.此时f(x)是增加的,当0x1,f(x)0,f(x)在1,+)上是增加的,不合题意;当a0时,要使函数f(x)在区间1,+)上是减少的,只需f(x)0在区间1,+)上恒成立.x0,只需2a2x2-ax-10恒成立,a4a21,2a2-a-10.解得a1或a-12.所求实数a的取值范围是-,-121,+).答案:-,-121,+)10.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx,在区间-2,1内,当x=-1时,取得极小值,当x=23时,取得极大值.(1)求函数f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在-2,1上的最大值与最小值.解:(1)依题意,得f(x)=-3x2+2ax+b,由f(-1)=0,f23=0,解得a=-12,b=2,故f(x)=-x3-12x2+2x.(2)因为f(-1)=-32,f23=2227,f(-2)=2,f(1)=12,所以f(x)max=2,f(x)min=-32.11.a为正常数,求函数y=e-x-e-2x在区间0,a上的最大值、最小值.解:y=e-x-e-2x,y=-e-x+2e-2x=e-2x(2-ex).令y=0,则x=ln 2.x0,a,只研究x0的情况,当x变化时,y,y的变化情况如下表:x0(0,ln 2)ln 2(ln 2,+)y+0-y0极大值又y=e-x-e-2x=e-2x(ex-1),当x0时,ex-10,y0.函数图像如图.由表和图可知,若0aln 2-1且x0时,exx2-2ax+1.分析:利用导数证明不等式是导数应用的一个方面,对于exx2-2ax+1的证明可构造函数g(x)=ex-(x2-2ax+1),根据g(x)的单调性、最值情况证明g(x)0,从而得不等式exx2-2ax+1成立.(1)解:由f(x)=ex-2x+2a,xr知f(x)=ex-2,xr.令f(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示:x(-,ln 2)ln 2(ln 2,+)f(x)-0+f(x)2(1-ln 2+a)故f(x)的递减区间是(-,ln 2),递增区间是(ln 2,+),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,xr,于是g(x)=ex-2x+2a,xr.由(1)知当aln 2-1时,g(x)的最小值为g(ln 2)=2(1-ln 2+a)0.于是对任意xr,都有g(x)0,所以g(x)在r上是增函数.于是当aln 2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0.即ex-x2+ax-10,故exx2-2ax+1.13.(拔高题)已知函数f(x)=ax3-12x,f(x)的导函数为f(x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=-6,求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=3ax2-12=3(ax2-4).当a0时,f(x)0时,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-2a-2a-2a,2a2a2a,+f(x)+0-0+f(x)极大值极小值此时,f(x)在-,-2a