北师大版选修11 第二章 §2　抛物线 学案.docx

2抛物线21抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线思考2平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案曲线梳理(1)定义：平面内与一定点f和一条定直线l(l不过f)的距离相等的点的集合叫作抛物线(2)焦点：定点f叫作抛物线的焦点(3)准线：定直线l叫作抛物线的准线知识点二抛物线的标准方程思考抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2抛物线的方程都是y关于x的二次函数()3方程x22ay(a0)表示开口向上的抛物线()类型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22p1x(p10)或x22p2y (p20)把点(3，4)分别代入y22p1x和x22p2y，得(4)22p13,322p2(4)，即2p1，2p2.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；直接根据定义求p，最后写标准方程；利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数跟踪训练1求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上；(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.解(1)设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，过点(3,2)，42p1(3)或92p22，p1或p2.故所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y2，令y0得x4，抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，2)当焦点坐标为(4,0)时，4，p8，此时抛物线方程为y216x；当焦点坐标为(0，2)时，|2|，p4，此时抛物线方程为x28y.故所求抛物线的标准方程为y216x或x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为x22py(p0)或x22py(p0)且p3.抛物线的标准方程为x26y或x26y.类型二求抛物线的焦点坐标和准线方程例2指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)yx2；(2)xay2(a0)解(1)抛物线yx2的标准形式为x24y，p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是y1，抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为y2x，2p.当a0时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是x；当a0时，开口向右；当a0)由题意可知，点b(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为aa，则a(2，ya)，由22ya，得ya.又知船面露出水面上的部分高为 m，所以h|ya|2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练3某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意知，点p(10，4)在抛物线上，所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，ab是最长的支柱之一设点b的坐标为(2，yb)，代入x225y，得yb.所以|ab|43.84，即最长支柱的长为3.84米1抛物线yx2的准线方程是()ay1 by2cx1 dx2答案a解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为()a(1,0)，x1 b(2,0)，x2c(3,0)，x3 d(4,0)，x4答案b解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.3已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为()ay2x by22xcx23y dx26y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案d解析由题意知p3，故选d.4抛物线x28y上的点m到x轴的距离为6，则点m与抛物线的焦点间的距离为_答案8解析由抛物线的定义可得|mf|68.5已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px (p0)，或x22py (p0)将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点坐标为f，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为f，准线方程为y.2设m是抛物线上一点，焦点为f，则线段mf叫作抛物线的焦半径若m(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|mf|x0.一、选择题1已知抛物线c：y2x的焦点为f，a(x0，y0)是c上一点，|af|x0，则a点的坐标为()a(1,1) b(1，1)c(1，1) d(1,0)考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案b解析由抛物线的定义，可得|af|x0，|af|x0，x0x0，x01.把x01代入y2x，得y1，y01，点a的坐标为(1，1)2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()a(1,0) b(1,0)c(0，1) d(0,1)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案b解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x.由题设知1，即p2，故焦点坐标为.故选b.3顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()ax23y by26xcx212y dx26y答案c解析顶点与焦点距离等于3，2p12，又对称轴是y轴，抛物线的标准方程为x212y.4已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点p(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()a4 b2c4或4 d12或2考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案c解析由题可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由定义知点p到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点p的坐标代入x28y，得m4.5抛物线方程为7x4y20，则焦点坐标为()a. b.c. d.答案c解析方程化为y2x，抛物线开口向左，2p，故焦点坐标为.6过点a(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()a圆 b椭圆c直线 d抛物线考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案d解析设p为满足条件的点，则点p到点a的距离等于点p到y轴的距离，即点p在以点a为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点p的轨迹为抛物线故选d.7已知点a(2,3)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，记c的焦点为f，则直线af的斜率为()a b1c d考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案c解析因为抛物线c：y22px的准线方程为x，且点a(2,3)在准线上，故2，解得p4.所以抛物线方程为y28x，焦点f的坐标为(2,0)，这时直线af的斜率kaf.8从抛物线y24x的图像上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为()a10 b8 c6 d4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点的坐标答案a解析设p(x0，y0)，|pm|5，x04，y04，smpf|pm|y0|10.二、填空题9已知椭圆x2ky23k(k0)的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该椭圆的离心率是_考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题答案解析抛物线的焦点为f(3,0)，椭圆的方程为1，3k39，k4，离心率e.10抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是_考点抛物线定义题点由抛物线定义求点的坐标答案解析抛物线方程化为x2y，准线为y.由于点m到焦点的距离为1，所以m到准线的距离也为1，所以m点的纵坐标等于1.11设抛物线y28x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足，如果直线af的斜率为，那么|pf|_.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案8解析如图所示，直线af的方程为y(x2)与准线方程x2联立，得a(2,4)设p(x0,4)，代入抛物线方程y28x，得8x048，x06.|pf|x028.三、解答题12.如图所示，抛物线c的顶点为坐标原点o，焦点f在y轴上，准线l与圆x2y21相切(1)求抛物线c的方程；(2)若点a，b都在抛线c上，且2，求点a的坐标考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)依题意，可设抛物线c的方程为x22py(p0)，其准线l的方程为y.准线l与圆x2y21相切，圆心(0,0)到准线l的距离d01，解得p2.故抛物线c的方程为x24y.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由题意得f(0,1)，(x2，y21)，(x1，y1)，2，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即点a的坐标为或.13已知抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m时，测量水面宽为8 m，则当水面上升 m后，水面的宽度是多少？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)把b(4，2)代入得164p，所以p4.所以x28y.把y代入得x2.所以此时水面的宽度为4 m.四、探究与拓展14如果p1，p2，pn是抛物线c：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，f是抛物线c的焦点，若x1x2xn10，则|p1f|p2f|pnf|等于()an10 bn20c2n10 d2n20考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案a解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|p1f|x11，|p2f|x21，|pnf|xn1，所以|p1f|p2f|pnf|x11x21xn1(x1x2xn)nn10，故选a.15已知曲线c上的任意一点到定点f(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等(1)求曲线c的方程；(2)若曲线c上有两个定点a，b分别在其对称轴的